Soit ${\displaystyle \mu _{\varphi }=\prod P_{i}^{m_{i}}}$ la décomposition de ${\displaystyle \mu _{\varphi }}$ en produit de polynômes irréductibles. D'après le lemme des noyaux, ${\displaystyle E}$ est la somme directe des ${\displaystyle E_{i}:=\ker \left(P_{i}^{m_{i}}(\varphi )\right)}$, et le polynôme minimal de la restriction de ${\displaystyle \varphi }$ à ${\displaystyle E_{i}}$ est ${\displaystyle P_{i}^{m_{i}}}$. Le polynôme conducteur de tout vecteur de ${\displaystyle E_{i}}$ est donc de la forme ${\displaystyle P_{i}^{k}}$ pour un certain ${\displaystyle k\leq m_{i}}$, et ${\displaystyle k=m_{i}}$ pour au moins un vecteur ${\displaystyle x_{i}\in E_{i}}$. Le vecteur ${\displaystyle x:=\sum x_{i}}$ est alors ${\displaystyle \varphi }$-maximum.

Soit ${\displaystyle x}$ un vecteur ${\displaystyle \varphi }$-maximum. Notons ${\displaystyle d}$ le degré de ${\displaystyle \mu _{\varphi }}$, choisissons une forme linéaire ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle E}$, nulle sur ${\displaystyle x,\varphi (x),\varphi ^{2}(x),\dots ,\varphi ^{d-2}(x)}$ et valant ${\displaystyle 1}$ sur ${\displaystyle \varphi ^{d-1}(x)}$, et montrons que le sous-espace ${\displaystyle T}$ suivant (qui est clairement ${\displaystyle \varphi }$-stable) est un supplémentaire de ${\displaystyle S_{x}}$^[1] :

${\displaystyle T=\{y\in E\mid K[\varphi ](y)\subset \ker f\}}$.

D'abord, ${\displaystyle S_{x}\cap T=\{0\}}$ car pour tout ${\displaystyle p<d}$,

${\displaystyle {\text{si }}y=\sum _{k=0}^{p}a_{k}\varphi ^{k}(x)\in T{\text{ alors }}0=f(\varphi ^{d-1-p}(y))=f\left(\sum _{k=0}^{p}a_{k}\varphi ^{k+d-1-p}(x)\right)=a_{p}}$

et de proche en proche, tous les scalaires ${\displaystyle a_{k}}$ sont nuls.

Il reste à prouver que ${\displaystyle T}$ est de codimension ${\displaystyle d}$, ou encore, que son orthogonal ${\displaystyle T^{\perp }}$ dans le dual ${\displaystyle E^{*}}$ est de dimension ${\displaystyle d}$. Or ${\displaystyle T^{\perp }}$ est l'image de l'application linéaire

${\displaystyle F:K[\varphi ]\to E^{*},\quad \psi \mapsto f\circ \psi }$

et cette application ${\displaystyle F}$ est injective car pour tout ${\displaystyle \psi }$ dans ${\displaystyle K[\varphi ]}$,

${\displaystyle \psi \in \ker F\Rightarrow K[\varphi ](\psi (x))=\psi (S_{x})\subset \ker f\Rightarrow \psi (x)\in T\cap S_{x}\Rightarrow \psi (x)=0\Rightarrow \psi =0}$.

On a donc bien :

${\displaystyle \operatorname {codim} (T)=\dim(T^{\bot })=\dim({\rm {Im}}F)=\dim(K[\varphi ])=d}$.