Soient E et F deux -espaces vectoriels.
Existence de bases
Soient G une partie génératrice de E et L une partie libre. Alors il existe G' ⊂ G\L tel que L∪G' soit une base de E.
En particulier :
- (cas G = E) toute famille libre de E peut être complétée en une base de E ;
- (cas L = ∅) de toute famille génératrice de E on peut extraire une base de E.
L'ensemble P des parties F de G\L telles que L∪F soit libre est inductif pour l'inclusion : il est même stable par unions de chaînes. Le lemme de Zorn s'applique et donne l'existence d'un élément G' maximal dans P. Alors, la partie libre B = L∪G' est aussi génératrice. En effet, G est génératrice, or tout vecteur de G s'exprime comme une combinaison linéaire de vecteurs de B puisque (par maximalité de G') si ce vecteur n'est pas déjà dans B, il forme avec B une partie liée.
- E admet une base.
- Si E admet une partie génératrice finie alors il admet une base finie.
Tout sous-espace vectoriel de admet un supplémentaire tel que .
En d'autres termes, S est le supplémentaire de V ssi tout vecteur de E se décompose de façon unique comme la somme de vecteurs de chacun des sous-espaces V et S.
Dimension
Le cardinal de toute partie génératrice de E est supérieur ou égal au cardinal de toute partie libre.
Toutes les bases de E ont même cardinal.
Ce cardinal commun est appelé dimension de E, et est noté .
Par exemple, la dimension de {0} est 0.
E et F sont isomorphes si et seulement s'ils ont même dimension.
Par exemple, si E est de dimension finie , alors il est isomorphe à .
Dimension d'une somme
- Si F est un sous-espace vectoriel de E, alors .
- Si E est de dimension finie et si F est un sous-espace de même dimension, alors F = E.
Si E et F sont des sous-espaces d'un même espace vectoriel alors