Démontrons, par récurrence sur l'entier m, que si M est un A-module libre de rang m et N un sous-module, alors N est libre de rang inférieur ou égal à m.

• Pour m = 0, le résultat est immédiat.
• Supposons la propriété démontrée au rang m et démontrons-la pour M de rang m + 1. Soit N un sous-module de M. Soit ${\displaystyle (e_{0},\dots ,e_{m})}$ une base de M. Notons P le sous-module de M engendré par ${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{m})}$. Le sous-module N∩P de P est, par hypothèse de récurrence, libre et de rang ${\displaystyle n\leq m}$.
  • Si N est inclus dans P alors il est égal à N∩P, donc il est bien libre de rang inférieur ou égal à m + 1.
  • Sinon, introduisons l'ensemble J des coordonnées sur ${\displaystyle e_{0}}$ des éléments de N. C'est un idéal non nul de A donc — puisque l'anneau A est principal — J est de la forme (d) pour un certain scalaire d ≠ 0. Puisque d ∈ J, il existe un vecteur de N de la forme ${\displaystyle f_{0}=de_{0}+y}$ avec ${\displaystyle y}$ dans P. Soit ${\displaystyle (f_{1},\dots ,f_{n})}$ une base de N∩P. On va montrer que la famille ${\displaystyle (f_{0},f_{1},\dots ,f_{n})}$ est une base de N, ce qui achèvera la démonstration.
    • Cette famille engendre N. En effet, soit x un vecteur de N. Sa 0-ième coordonnée dans la base (e_i) est un élément de J, donc est égale à ad pour un certain scalaire a. Le vecteur x – af₀ appartient alors à N∩P donc est une combinaison linéaire de ${\displaystyle (f_{1},\dots ,f_{n})}$, et x est donc bien engendré par ${\displaystyle (f_{0},f_{1},\dots ,f_{n})}$.
    • Cette famille est libre. En effet, soient ${\displaystyle a_{0},\dots ,a_{n}\in A}$ tels que ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}f_{i}=0}$. Alors, la 0-ième coordonnée de ce vecteur de M dans la base (e_i) est nulle, c'est-à-dire : ${\displaystyle a_{0}d=0}$. Puisque d ≠ 0 et A est intègre, ${\displaystyle a_{0}=0}$. Il reste donc : ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}f_{i}=0}$, ce qui — puisque ${\displaystyle (f_{1},\dots ,f_{n})}$ est libre — implique que les coefficients sont tous nuls.

Supposons le résultat vérifié pour tous les A-modules de rang n-1.

• Définition de ${\displaystyle f_{n}=d_{n}e_{n}}$ et de ${\displaystyle d_{n}}$ :

L'ensemble X des images f(N) des morphismes de A-modules ${\displaystyle f:M\rightarrow A}$ forment une famille non vide d'idéaux de A. Comme A est principal, il est en particulier noethérien. Il existence donc un idéal maximal de X, écrit sous la forme g(N). Comme A est principal, g(N)=d_nA. Fixons ${\displaystyle f_{n}}$ dans N' tel que ${\displaystyle g(f_{n})=d_{n}}$. On va montrer l’existence d'un élément ${\displaystyle e_{n}}$ de M vérifiant ${\displaystyle d_{n}e_{n}=f_{n}}$.

• Confirmation du choix de ${\displaystyle d_{n}}$ :

Si ${\displaystyle f:M\rightarrow A}$ est un morphisme de A-modules, notons provisoirement c l'image de f_n par f et b le pgcd de c et de d. La relation de Bézout donne des coefficients ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$ vérifiant : ${\displaystyle \alpha c+\beta d=b}$. En particulier, ${\displaystyle \alpha f+\beta g}$ est un morphisme ${\displaystyle M\rightarrow A}$ valant b en ${\displaystyle f_{n}}$. Par définition de g, b doit diviser d ; donc d et b sont associés ; autrement dit, d divise c. En particulier, g(N) est le plus grand idéal de X.

• Définition de ${\displaystyle e_{n}}$ :

Choississons provisoirement une base ${\displaystyle (\epsilon _{1},\dots ,\epsilon _{n})}$ de M. L'application ${\displaystyle \pi _{i}}$ qui à x dans M associe sa i-ième coordonnée est un morphisme de A modules ${\displaystyle M\rightarrow A}$. Écrivons ${\displaystyle f_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\epsilon _{k}}$. Le résultat précédent montre que ${\displaystyle a_{k}=\pi _{k}(f_{n})}$ est divisible par ${\displaystyle b_{n}}$ et donc peut s'écrire sous la forme : ${\displaystyle a_{k}=b_{n}u_{k}}$. Définissons ${\displaystyle e_{n}=\sum _{k=1}^{n}u_{k}\epsilon _{k}}$. Alors on obtient : ${\displaystyle f_{n}=b_{n}e_{n}}$.

• Définition du supplémentaire :

Tout élément x de M s'écrit : ${\displaystyle x=g(x)e_{n}+(x-g(x)e_{n})}$, donc comme la somme d'un élément de ${\displaystyle Ae_{n}}$ et d'un élément du noyau de g. Ses deux sous-A-module sont en somme directe car g vaut 1 sur ${\displaystyle e_{n}}$, donc :

${\displaystyle M=Ae_{n}\oplus Ker(g)}$.

• Décomposition de N :

Via l'identité ci-dessus, on a :

${\displaystyle N=Ad_{n}e_{n}\oplus Ker(g)\cap N}$.

• Application de l'hypothèse de récurrence :

Comme A est principal, tout sous-module d'un module libre de type fini de rang n est un sous-module libre de type fini de rang k<n (partie précédente à rédiger !). En particulier, Ker(g) est un A-module libre de type fini de rang n-1. Appliquons l'hypothèse de récurrence au sous-A-module ${\displaystyle Ker(g)\cap N}$. Il existe une base ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n-1}}$ de Ker(g), des scalaires ${\displaystyle d_{1},\dots ,d_{n-1}}$ où ${\displaystyle d_{i+1}}$ divise ${\displaystyle d_{i}}$ pour tout i<n-1, tels que ${\displaystyle d_{1}e_{1},\dots ,d_{n-1}e_{n-1}}$ engendrent ${\displaystyle N\cap Ker(g)}$. Donc, ${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}$ est une base de M et ${\displaystyle (d_{1}e_{1},\dots ,d_{n}e_{n}}$ engendre N. De plus, ${\displaystyle d_{n}A=g(N)}$ contient ${\displaystyle \pi _{n-1}(N)=d_{n-1}A}$. Donc ${\displaystyle d_{n}}$ divise ${\displaystyle d_{n-1}}$. D'où le résultat !

Par récurrence, on conclut.