Anneau (mathématiques)/Anneau principal

Anneau principal

Définition

Un anneau principal est un anneau commutatif intègre dont tous les idéaux sont principaux.

Exemples

On a vu au chapitre précédent qu'il existe des anneaux commutatifs intègres non principaux.

L'anneau $\mathbb {Z}$ des entiers relatifs et l'anneau $K\left[X\right]$ des polynômes à coefficients dans un corps commutatif $K$ sont des anneaux principaux et même euclidiens.

On va généraliser à un anneau principal quelconque toutes les propriétés de $\mathbb {Z}$ vues dans la leçon « Arithmétique ». Ce sont aussi les propriétés de $K\left[X\right]$ du chapitre « Arithmétique des polynômes » de la leçon sur les polynômes.

Dans la suite, $A$ désigne un anneau principal et $\left(a_{i}\right)_{i\in I}$ une famille (finie ou infinie) d'éléments de $A$ .

PGCD, PPCM

Un élément $a\in A$ est un diviseur commun aux $a_{i}$ si et seulement si $\forall i\in I\quad a_{i}\in (a)$ , c'est-à-dire si l'idéal engendré par les $a_{i}$ est inclus dans $(a)$ . En notant $d$ un générateur de cet idéal, les diviseurs communs aux $a_{i}$ sont donc les diviseurs de $d$ . Cela nous mène à la définition suivante :

Définition du PGCD

On appelle plus grand diviseur commun — ou pgcd — des $a_{i}$ tout générateur (unique à produit près par un inversible) de l'idéal engendré par cette famille. C'est « le » plus grand (pour le préordre « divise ») des diviseurs communs aux $a_{i}$ . On le note $\mathrm {pgcd} \left({\left(a_{i}\right)_{i\in I}}\right)$ .

On note parfois $a\wedge b$ (ou $b\land a$ ) le pgcd de deux éléments $a$ et $b$ .

On dit que les $a_{i}$ sont premiers entre eux dans leur ensemble si leur pgcd est 1.

Attention à ne pas confondre la notion de « premiers entre eux dans leur ensemble » avec la notion de « premiers entre eux deux à deux ».

Propriétés

L'opérateur pgcd est « associatif », au sens suivant : si $I=\cup _{j\in J}I_{j}$ alors $\mathrm {pgcd} \left(a_{i}\right)_{i\in I}=\mathrm {pgcd} \left(b_{j}\right)_{j\in J}$ , où $b_{j}:=\mathrm {pgcd} \left(a_{i}\right)_{i\in I_{j}}$ .
Pour tout $k\in A$ , $\mathrm {pgcd} \left({\left(ka_{i}\right)_{i\in I}}\right)=k\;\mathrm {pgcd} \left({\left(a_{i}\right)_{i\in I}}\right)$ .

Par un raisonnement analogue à ce qui précède, les multiples communs des $a_{i}$ sont les multiples de tout générateur de l'idéal $\cap _{i\in I}\left(a_{i}\right)$ .

Définition du PPCM

On appelle plus petit multiple commun — ou ppcm — des $a_{i}$ tout générateur (unique à produit près par un inversible) de $\cap _{i\in I}\left(a_{i}\right)$ . C'est « le » plus petit (pour le préordre « divise ») des multiples communs aux $a_{i}$ . On le note $\mathrm {ppcm} \left({\left(a_{i}\right)_{i\in I}}\right)$ .

On note parfois $a\vee b$ (ou $b\vee a$ ) le ppcm de deux éléments $a$ et $b$ .

Propriétés

L'opérateur ppcm est « associatif », au sens suivant : si $I=\cup _{j\in J}I_{j}$ alors $\mathrm {ppcm} \left(a_{i}\right)_{i\in I}=\mathrm {ppcm} \left(b_{j}\right)_{j\in J}$ , où $b_{j}:=\mathrm {ppcm} \left(a_{i}\right)_{i\in I_{j}}$ .
Pour tout $k\in A$ , $\mathrm {ppcm} \left({\left(ka_{i}\right)_{i\in I}}\right)=k\;\mathrm {ppcm} \left({\left(a_{i}\right)_{i\in I}}\right)$ .

Arithmétique dans un anneau principal

Par définition, le pgcd des $a_{i}$ appartient à l'idéal qu'ils engendrent, autrement dit :

Identité de Bézout

Il existe des $u_{i}\in A$ , nuls sauf un nombre fini d'entre eux, tels que $\operatorname {pgcd} \left(a_{i}\right)_{i\in I}=\sum _{i\in I}u_{i}a_{i}$ .

Par conséquent (puisque le seul idéal de A qui contient 1 est A) :

Théorème de Bézout

Les $a_{i}$ sont premiers entre eux dans leur ensemble si et seulement s'il existe des $u_{i}\in A$ , nuls sauf un nombre fini d'entre eux, tels que $\sum _{i\in I}u_{i}a_{i}=1$ .

Par la même méthode que dans $\mathbb {Z}$ , on en déduit :

Théorème de Gauss

Soient $a,b,c\in A$ . Si $a|bc$ et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $a|c$ .

Corollaire

Un élément de $A$ est premier avec un produit si (et seulement si) il est premier avec chaque facteur.

Démonstration

Supposons que $b$ est premier avec chacun des éléments $a_{1},\dots ,a_{n}$ et démontrons, par récurrence sur $k\leq n$ , qu'il est premier avec le produit $a_{1}\dots a_{k}$ .

Initialisation : pour $k=0$ , c'est clair (avec la convention du produit vide égal à $1$ ).
Hérédité : supposons que $b$ est premier avec $a:=a_{1}\dots a_{k}$ pour un certain $k<n$ et montrons qu'il est encore premier avec $aa_{k+1}$ . Soit $d$ un diviseur commun à $b$ et $aa_{k+1}$ . Alors $d$ est, comme $b$ , premier avec $a$ . D'après le lemme de Gauss, il divise donc $a_{k+1}$ . Puisque $d$ divise aussi $b$ (premier avec $a_{k+1}$ ), il est donc inversible. On a donc bien montré que $\operatorname {pgcd} \left(b,aa_{k+1}\right)=1$ .

Propriété

Si n éléments de A sont premiers entre eux deux à deux, alors leur PPCM est leur produit.

Démonstration

Même méthode que pour A = Z : voir Arithmétique/Exercices/Divers#Exercice 11-8.

Factorialité de A, décomposition primaire

Définition

On appelle éléments irréductibles de $A$ les éléments $x$ non nuls qui ne sont pas inversibles et dont les seuls diviseurs sont les éléments inversibles de $A$ et les éléments associés à $x$ .

Exemple

Les éléments irréductibles de $\mathbb {Z}$ sont les nombres premiers et leurs opposés. Le concept d'éléments irréductibles est la généralisation aux anneaux intègres des nombres premiers.
Les éléments irréductibles de $\mathbb {C} [X]$ sont, d’après le théorème de D'Alembert-Gauss, les polynômes de degré 1.

Lemme d'Euclide

Dans un anneau vérifiant le lemme de Gauss, tout élément p irréductible est premier, c'est-à-dire que pour tout produit divisible par p, l'un des facteurs est divisible par p.

Démonstration

Soit p un élément irréductible qui divise un produit $a_{1}\dots a_{n}$ . Alors, p n'est pas premier avec ce produit donc d'après le corollaire ci-dessus du lemme de Gauss, il n'est pas premier avec (au moins) l'un des facteurs, $a_{i}$ . Il existe alors, parmi les diviseurs de $a_{i}$ , un diviseur de p non inversible, donc associé à p. Par conséquent, p divise $a_{i}$ .

Dans les anneaux principaux, on dispose du théorème de factorisation primaire :

Théorème : tout anneau principal est factoriel

Tout élément de $A$ non nul et non inversible est un produit d'éléments irréductibles, la suite de ces facteurs irréductibles étant unique à association et à l’ordre près. On dit que $A$ est factoriel.

Cette décomposition d'un élément s’appelle sa décomposition primaire. Il s'agit de la généralisation aux anneaux principaux du théorème selon lequel tout entier > 1 est le produit d'une suite finie (non vide) de nombres premiers, unique à l’ordre près.

Remarque.: Si, pour chaque idéal engendré par un élément irréductible, on choisit un générateur parmi les représentants irréductibles possibles, et l'on note $P$ leur ensemble (par exemple, dans $\mathbb {Z}$ , on choisit le générateur positif et dans $K[X]$ , on choisit le générateur unitaire), alors le théorème peut se reformuler ainsi :
Soit $x\in A\setminus \{0\}$ . Il existe un unique élément inversible $u$ et une unique application $\alpha$ de $P$ dans $\mathbb {N}$ à support fini (c'est-à-dire nulle en dehors d'une partie finie de $P$ ) telle que $x=u\prod _{p\in P}p^{\alpha (p)}$ .
$P$ étant en général infini, le produit étendu sur $P$ doit s'entendre comme la valeur commune des produits étendus à toute partie finie contenant le support de $\alpha$ , c'est-à-dire l’ensemble des $p$ tels que $\alpha (p)$ soit non nul.

Pour démontrer ce théorème, nous aurons besoin du lemme suivant :

Lemme : tout anneau principal est noethérien

Toute suite croissante d'idéaux de $A$ est stationnaire. On dit que $A$ est noethérien.

Démonstration

Soit $(I_{n})$ une suite croissante d'idéaux. La réunion $I=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$ est un idéal. En effet, c'est un sous-groupe de $(A,+)$ (comme union d'une suite croissante de sous-groupes) et $AI=A\ \bigcup _{n\in \mathbb {N} }I_{n}\subset \bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left(AI_{n}\right)=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }I_{n}=I$ . L'anneau $A$ étant principal, l'idéal $I$ admet un générateur $b$ . Ce générateur est dans $I$ donc dans un $I_{N}$ . Alors, $\forall n\geq N\quad I_{N}\subset I_{n}\subset I=(b)\subset I_{N}$ donc $I_{n}=I_{N}$ .

On peut enfin démontrer la factorialité de tout anneau principal ou, plus généralement, de tout anneau intègre vérifiant les deux propriétés suivantes :

Toute suite croissante d'idéaux principaux est stationnaire (version affaiblie de la noethérianité, qui assurera l'existence d'une factorisation) ;
Tout élément irréductible est premier (lemme d'Euclide, qui garantira son unicité).

Preuve du théorème de factorialité

Existence. Raisonnant par l'absurde, supposons qu’il existe un élément $x$ , non nul et non inversible, qui n'admet pas de factorisation primaire. En particulier, $x$ n'est pas irréductible donc il s'écrit $yz$ avec $y$ et $z$ non inversibles. On a alors $(x)\subsetneq (y)$ et $(x)\subsetneq (z)$ et, puisque $x$ n'a pas de factorisation primaire, l'un (au moins) des deux facteurs $y$ ou $z$ , par exemple $y$ , n'en a pas non plus. En refaisant le même raisonnement pour $y$ , il existe $w$ , non inversible et n'admettant pas de factorisation primaire, tel que $(y)\subsetneq (w)$ . On construit ainsi par récurrence une suite strictement croissante d'idéaux principaux, ce qui contredit la propriété 1.
Unicité. Montrons, par récurrence sur n ≥ 1, que si $p_{1}\dots p_{n}=q_{1}\dots q_{m}$ $p_{1}\dots p_{n}=q_{1}\dots q_{m}$ avec m ≥ n et $p_{i}$ $p_{i}$ , $q_{j}$ $q_{j}$ irréductibles, alors m = n et les deux n-uplets d'irréductibles sont égaux, à permutation et association près.
- Si n = 1, c'est immédiat.
- Supposons la proposition démontrée à l'ordre n – 1 pour un certain n > 1, et montrons-la à l'ordre n. L'élément p_n divise le produit q₁ …q_m. Comme (d'après la propriété 2) p_n est premier, il divise l'un des q_k : par exemple (quitte à permuter les facteurs) q_m = up_n et (comme q_m est irréductible) u est inversible, donc q_m–1u est irréductible. L'égalité suivante et l'hypothèse de récurrence permettent de conclure : $p_{1}\dots p_{n-1}=q_{1}\dots q_{m-2}\left(q_{m-1}u\right)$ .

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