Lemme

Soit ${\displaystyle (G,\star )}$ un groupe et ${\displaystyle P}$ une partie non vide de ${\displaystyle G}$ stable pour ${\displaystyle \star }$. Si ${\displaystyle (P,\star )}$ est un groupe alors c’est un sous-groupe de ${\displaystyle G}$.

Démontrons enfin la proposition.

${\displaystyle (1\Rightarrow 2)}$ On sait que ${\displaystyle P^{*}=P\setminus \{0\}}$ est une partie non vide de ${\displaystyle K^{*}=K\setminus \{0\}}$, stable pour ${\displaystyle \times }$. De plus ${\displaystyle \times }$ est associative, admet un élément neutre et tout élément à un inverse puisque ${\displaystyle P}$ est un corps donc ${\displaystyle (P^{*},\times )}$ est un groupe donc d’après le lemme précédent, il s'agit d’un sous-groupe de ${\displaystyle (K^{*},\times )}$ et donc ${\displaystyle 1\in P}$ et ${\displaystyle x\in P\Rightarrow x^{-1}\in P}$.

De même ${\displaystyle P}$ est une partie non vide de ${\displaystyle K}$, stable pour ${\displaystyle +}$. De plus ${\displaystyle +}$ est associative, admet un élément neutre et tout élément à un inverse puisque ${\displaystyle P}$ est un corps donc ${\displaystyle (P,+)}$ est un groupe donc d’après le lemme précédent, il s'agit d’un sous-groupe de ${\displaystyle (K,+)}$ et donc ${\displaystyle 0\in P}$ et ${\displaystyle x\in P\Rightarrow -x\in P}$.

Ainsi ${\displaystyle P}$ est stable pour les lois ${\displaystyle +}$ et ${\displaystyle \times }$, contient ${\displaystyle 0}$ et ${\displaystyle 1}$ et est stable par passage au symétrique, donc ${\displaystyle (P,+,\times )}$ est un sous-anneau de ${\displaystyle (K,+,\times )}$

${\displaystyle (2\Rightarrow 3)}$ ${\displaystyle P}$ est un sous-anneau de ${\displaystyle K}$ donc ${\displaystyle P}$ est un sous-groupe additif de ${\displaystyle K}$.

Puisque ${\displaystyle P}$ est un sous-anneau de ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \times }$ est une loi de composition interne, associative admettant ${\displaystyle 1_{K}}$ comme élément neutre, de plus si ${\displaystyle x\in P^{*}}$ alors ${\displaystyle x^{-1}\in P^{*}}$ donc ${\displaystyle (P^{*},\times )}$ est un sous-groupe de ${\displaystyle (K^{*},\times )}$.

${\displaystyle (3\Rightarrow 1)}$ ${\displaystyle (P,+)}$ étant un sous-groupe il est donc non vide de plus ${\displaystyle +}$ est une loi de composition interne donc ${\displaystyle P}$ est stable pour ${\displaystyle +}$.

De même ${\displaystyle (P^{*},\times )}$ étant un sous-groupe ${\displaystyle \times }$ est une loi de composition interne, donc si ${\displaystyle x,y\in P^{*}}$ alors ${\displaystyle x\times y\in P}$. De même si ${\displaystyle x\in P^{*}}$ alors ${\displaystyle 0_{P}\times x=x\times 0_{P}=0_{P}\in P}$ donc ${\displaystyle P}$ est stable pour ${\displaystyle \times }$.

Puisque ${\displaystyle +}$ et ${\displaystyle \times }$ sont des lois de groupes, elles sont associatives, ont des éléments neutres et à tout élément correspond un symétrique pour chacune des lois.

Puisque ${\displaystyle (K,+)}$ est abélien, la loi ${\displaystyle +}$ est commutative. Et puisque ${\displaystyle K}$ est un corps commutatif, ${\displaystyle (K^{*},\times )}$ est aussi abélien donc la loi ${\displaystyle \times }$ est commutative.

Puisque ${\displaystyle K}$ est un corps, la loi ${\displaystyle \times }$ est distributive par rapport à l'addition ce qui reste vrai dans ${\displaystyle P}$.

${\displaystyle (P^{*},\times )}$ étant un sous-groupe d'élément neutre ${\displaystyle 1_{K}\neq 0_{K}}$, ${\displaystyle P}$ est non nul.

Donc ${\displaystyle P}$ est un corps.

Soit ${\displaystyle P=\cap _{i\in I}P_{i}}$ où les ${\displaystyle P_{i}}$ sont des sous-corps de ${\displaystyle K}$.

Chaque ${\displaystyle (P_{i},+)}$ est donc un sous-groupe de ${\displaystyle (K,+)}$ et chaque ${\displaystyle (P_{I}^{*},\times )}$ est un sous-groupe de ${\displaystyle (K^{*},\times )}$.

Or l'intersection de sous-groupes est un sous-groupe donc ${\displaystyle (P,+)=\cap _{i\in I}(P_{i},+)}$ est un sous-groupe de ${\displaystyle (K,+)}$ et ${\displaystyle (P^{*},\times )=\cap _{i\in I}(P_{i}^{*},\times )}$ est un sous-groupe de ${\displaystyle (K^{*},\times )}$.

Donc d’après la proposition précédente ${\displaystyle P}$ est un sous-corps de ${\displaystyle K}$.

${\displaystyle E}$ est non vide car il contient ${\displaystyle K}$. Posons alors ${\displaystyle k=\cap _{P'\in E}P'}$. Donc ${\displaystyle k}$ est inclus dans tout sous-corps de ${\displaystyle K}$ contenant ${\displaystyle P}$.

${\displaystyle \forall P'\in E:P\subset P'}$ donc ${\displaystyle P\subset k}$.

D'après la propriété précédente ${\displaystyle k}$ est un sous-corps.

• Montrons que ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ est bien une relation d'équivalence.

  ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ est bien symétrique.

  ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ est évidement réflexive.

  ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ est transitive. En effet soit ${\displaystyle (a,b){\mathcal {R}}(c,d)}$ et ${\displaystyle (c,d){\mathcal {R}}(g,h)}$. On a donc ${\displaystyle ad=bc}$ et ${\displaystyle ch=dg}$. Calculons ${\displaystyle ahd=adh=bch=bdg=bgd}$ en utilisant la commutativité et l'associativité dans ${\displaystyle A}$ de la multiplication.. Enfin ${\displaystyle d}$ étant non nul on a ${\displaystyle ah=bg}$. En effet, puisque ${\displaystyle ahd=bgd}$ alors ${\displaystyle ahd-bgd=0}$, soit ${\displaystyle (ah-bg)d=0}$ par distributivité, et puisque l'anneau est intègre et que ${\displaystyle d\neq 0}$ alors ${\displaystyle ah-dg=0}$ et donc ${\displaystyle ah=bg}$.

• Comme ${\displaystyle A}$ est intègre, ${\displaystyle \forall b,d\in A^{*}:bd\neq 0}$, les deux lois sont donc bien internes.
• Montrons que les deux lois sont bien commutatives, associatives et possèdent un élément neutre.

  On a ${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(ad+cb,bd)=(cb+ad,db)=(c,d)+(a,b)}$ puisque ${\displaystyle (A,+,\times )}$ est un anneau commutatif.

  De même ${\displaystyle (a,b)\times (c,d)=(ac,bd)=(ca,db)=(c,d)\times (a,b)}$.

  L'associativité de ${\displaystyle \times }$ sur ${\displaystyle E}$ découle de l'associativité de ${\displaystyle \times }$ sur ${\displaystyle A}$.

  Soit ${\displaystyle (g,h)\in E}$. On a ${\displaystyle ((a,b)+(c,d))+(g,h)=(ad+cb,bd)+(g,h)=((ad+cb)h+gbd,bdh)=(adh+cbh+gbd,bdh)=(adh+chb+gdb,bdh)=(adh+(ch+gd)b,bdh)=(a,b)+(ch+gd,dh)=(a,b)+((c,d)+(g,h))}$ du fait de l'associativité, commutativité et distributivité des deux opérations sur ${\displaystyle A}$.

  On a ${\displaystyle (a,b)+(0,1)=(a\times 1+0\times b,b\times 1)=(a,b)}$ donc ${\displaystyle (0,1)\in E}$ est élément neutre pour l’addition sur ${\displaystyle E}$.

  De même ${\displaystyle (a,b)(1,1)=(a\times 1,b\times 1)=(a,b)}$ donc ${\displaystyle (1,1)}$ est élément neutre pour la multiplication sur ${\displaystyle E}$.

• Montrons que ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ est compatible avec l'addition.

  Soit ${\displaystyle (a,b){\mathcal {R}}(c,d)}$ et ${\displaystyle (a',b'){\mathcal {R}}(c',d')}$, on a donc ${\displaystyle ad=bc,a'd'=b'c'}$. De plus ${\displaystyle (a,b)+(a',b')=(ab'+a'b,bb')}$ et ${\displaystyle (c,d)+(c',d')=(cd'+c'd,dd')}$.

  Enfin, ${\displaystyle (ab'+a'b)dd'=ab'dd'+a'bdd'=adb'd'+a'd'bd=bcb'd'+b'c'bd=bb'cd'+bb'c'd=bb'(cd'+c'd)}$ donc ${\displaystyle (a,b)+(a',b'){\mathcal {R}}(c,d)+(c',d')}$.

• Montrons que ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ est compatible avec la multiplication.

  On a ${\displaystyle (a,b)\times (a',b')=(aa',bb')}$ et ${\displaystyle (c,d)\times (c',d')=(cc',dd')}$.

  D'où ${\displaystyle aa'dd'=ada'd'=bcb'c'=bb'cc'}$ et donc ${\displaystyle (a,b)\times (a',b'){\mathcal {R}}(c,d)\times (c',d')}$.

• On a donc muni ${\displaystyle E/{\mathcal {R}}}$ de deux lois internes, commutatives, associatives et possédant un élément neutre.
• Pour affirmer que ${\displaystyle (E/{\mathcal {R}},+,\times )}$ est un anneau commutatif, il reste à montrer que la deuxième loi est distributive par rapport à la première.

  Soit ${\displaystyle {\overline {(a,b)}},{\overline {(c,d)}},{\overline {(g,h)}}}$ trois classes de ${\displaystyle E/{\mathcal {R}}}$.

  On a ${\displaystyle (a,b)\times ((c,d)+(g,h))=(a,b)\times (ch+gd,dh)=(a(ch+gd),bdh)=(ach+agd,bdh)}$.

  De même ${\displaystyle (a,b)\times (c,d)+(a,b)\times (g,h)=(ac,bd)+(ag,bh)=(acbh+agbd,bdbh)}$.

  Or ${\displaystyle (ach+agd)bdbh=achbdbh+agdbdbh=acbhbdh+agbdbdh=(acbh+agbd)bdh}$ donc ${\displaystyle {\overline {(a,b)\times ((c,d)+(g,h))}}={\overline {(a,b)\times (c,d)+(a,b)\times (g,h)}}}$.

• Enfin, cet anneau est un corps car si ${\displaystyle {\overline {(a,b)}}\neq {\overline {(0,1)}}}$, c'est-à-dire si ${\displaystyle a\neq 0}$, alors ${\displaystyle (b,a)\in E}$ et ${\displaystyle {\overline {(a,b)}}\times {\overline {(b,a)}}={\overline {(ab,ba)}}={\overline {(1,1)}}}$.

${\displaystyle \phi }$ est clairement un morphisme d'anneaux. Il est unique car on doit avoir ${\displaystyle \phi (1)=1_{A}}$ et tout morphisme de groupes de ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ dans ${\displaystyle (A,+)}$ est entièrement déterminé par l'image du générateur ${\displaystyle 1}$.

Le noyau de ${\displaystyle \phi }$ est un idéal de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ donc de la forme ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ pour un certain ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. L'isomorphisme de ${\displaystyle \mathbb {Z} /\operatorname {Ker} \phi }$ sur ${\displaystyle \operatorname {Im} \phi }$ canoniquement induit par ${\displaystyle \phi }$ est un plongement de ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ dans ${\displaystyle A}$.

• Si ${\displaystyle n=0}$ alors le morphisme ${\displaystyle i\circ \phi$ :\mathbb {Z} \to Fr(A)} est injectif donc s'étend à ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, par propriété universelle de ${\displaystyle Fr(\mathbb {Z} )=\mathbb {Q} }$.
• Si ${\displaystyle n>0}$ alors ${\displaystyle n}$ est premier car ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ est intègre (comme sous-anneau de ${\displaystyle A}$).