On dit que ${\displaystyle x\in E}$ et ${\displaystyle f\in E^{*}}$ sont orthogonaux si ${\displaystyle <x,\,f>=0}$.

Pour ${\displaystyle A}$ une partie de ${\displaystyle E}$, on pose ${\displaystyle A^{\perp }=\{f\in E^{*},\forall a\in A,<a,\,f>=0\}}$.

• ${\displaystyle A^{\perp }}$ est un sous-espace vectoriel de ${\displaystyle E^{*}}$
• Si ${\displaystyle A\subset B}$, alors ${\displaystyle B^{\perp }\subset A^{\perp }}$
• ${\displaystyle A^{\perp }=(Vect(A))^{\perp }}$
• ${\displaystyle A^{\perp }+B^{\perp }\subset (A\cap B)^{\perp }}$
• ${\displaystyle (F+G)^{\perp }=F^{\perp }\cap G^{\perp }}$
• ${\displaystyle A\subset {A^{\perp }}^{\perp }}$

Pour tout ${\displaystyle F}$ sous-espace vectoriel de ${\displaystyle E}$ (${\displaystyle E}$ de dimension finie), on a :

${\displaystyle \mathrm {dim} F^{\perp }=\mathrm {Codim} F=\mathrm {dim} E-\mathrm {dim} F}$.

Pour ${\displaystyle F}$ et ${\displaystyle E}$ deux sous-espaces vectoriels de ${\displaystyle E}$, il vient :

${\displaystyle (F\cap G)^{\perp }=F^{\perp }+G^{\perp }}$.

Pour tout ${\displaystyle F'}$ sous-espace vectoriel de ${\displaystyle E^{*}}$, on a :

${\displaystyle \mathrm {dim} {F'}^{\perp }=\mathrm {Codim} F'}$.

Pour ${\displaystyle F'}$ et ${\displaystyle E'}$ deux sous-espaces vectoriels de ${\displaystyle E^{*}}$, il vient :

${\displaystyle (F'\cap G')^{\perp }=F'^{\perp }+G'^{\perp }}$.