Solide de Platon

L'argument géométrique suivant est très similaire à celui donné par Euclide dans les Éléments :

1. Chaque sommet du solide doit coïncider avec un sommet sur au moins trois faces, sinon ce n'est qu'un point de côté et non un sommet.
2. À chaque sommet du solide, le total des angles entre les côtés adjacents relatifs aux faces adjacentes, doit être strictement inférieur à 360° (sinon, le solide ne peut pas être convexe).
3. Les angles de tous les sommets de toutes les faces d'un solide de Platon sont identiques, donc chaque sommet de chaque face doit contribuer pour strictement moins de 360°/3=120°.
4. Les polygones réguliers de six côtés ou plus ont seulement des angles de 120° ou plus, donc la face commune doit être le triangle, le carré ou le pentagone. Et pour :
   • les faces triangulaires : chaque sommet d'un triangle régulier a un angle de 60°, donc une forme doit avoir 3, 4 ou 5 triangles se rencontrant à un sommet ; celles-ci sont le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre respectivement.
   • les faces carrées : chaque sommet d'un carré a un angle de 90°, donc il existe seulement un arrangement possible avec trois faces à un sommet, le cube.
   • les faces pentagonales : chaque sommet a un angle de 108° ; de nouveau, seulement un arrangement, de trois faces à un sommet est possible, le dodécaèdre.

Une démonstration purement topologique peut être donnée en utilisant seulement les informations combinatoires sur les solides. La clé est l'observation d'Euler que ${\displaystyle S-A+F=2}$, et le fait que ${\displaystyle pF=2A=qS}$. En combinant ces équations, on obtient l'équation

${\displaystyle {\frac {2A}{q}}-A+{\frac {2A}{p}}=2.}$

En divisant par ${\displaystyle 2A}$ il vient

${\displaystyle {1 \over q}+{1 \over p}={1 \over 2}+{1 \over A}.}$

Puisque ${\displaystyle A}$ est strictement positif, nous devons avoir

${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}>{\frac {1}{2}}.}$

En utilisant le fait que p et q doivent, tous deux, être au moins égaux à 3, on peut facilement voir qu'il existe seulement cinq possibilités pour {p, q} :

${\displaystyle \{3,3\},\quad \{4,3\},\quad \{3,4\},\quad \{5,3\},\quad \{3,5\}.}$

Il existe un nombre d'angles associés avec chaque solide de Platon. L'angle dièdre est l'angle interne entre deux faces planes quelconques. L'angle dièdre, θ, du solide {p, q} est donné par la formule

${\displaystyle \sin {\theta \over 2}={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /p)}}.}$

Ceci est quelquefois exprimé de manière plus pratique en termes de tangente par

${\displaystyle \tan {\theta \over 2}={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /h)}}.}$

La quantité h est 4, 6, 6, 10 et 10 pour le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre respectivement, autrement dit ${\displaystyle 4h=15+[2(p+q)-11]^{2}}$.

Le défaut angulaire (en) au sommet d'un polyèdre est la différence entre la somme des angles d'une face et 2π. Le défaut, δ, à un sommet quelconque des sommets de Platons {p, q} est

${\displaystyle \delta =2\pi -q\pi \left(1-{2 \over p}\right).}$

Par le théorème de Descartes, ceci est égal à 4π divisé par le nombre de sommets (i.e. le défaut total de tous les sommets est 4π).

L'analogue tridimensionnel d'un angle plan est un angle solide. L'angle solide, Ω, au sommet d'un solide de Platon est donné en termes d'angle dièdre par

${\displaystyle \Omega =q\theta -(q-2)\pi .\,}$

Ceci provient de la formule de l'excès sphérique pour un polygone sphérique et le fait que la figure de sommet du polyèdre {p, q} est un q-gone régulier.

Les divers angles associés avec les solides de Platon sont donnés ci-dessous. Les valeurs numériques des angles solides sont données en stéradians. La constante ${\displaystyle \varphi ={\frac {(1+{\sqrt {5}})}{2}}\,}$ est le nombre d'or.

Polyèdre	Angle dièdre ${\displaystyle (\theta )\,}$	${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}}$	défaut angulaire (en) ${\displaystyle (\delta )\,}$	Angle solide ${\displaystyle (\Omega )\,}$
Tétraèdre	70,53°	${\displaystyle 1 \over {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle \pi \,}$	${\displaystyle 2\arctan \left({\frac {\sqrt {2}}{5}}\right)}$	${\displaystyle \approx 0,551286}$
Cube	90°	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle \pi \over 2}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle \approx 1,57080}$
Octaèdre	109,47°	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {2\pi } \over 3}$	${\displaystyle 4\arcsin \left({1 \over 3}\right)}$	${\displaystyle \approx 1,35935}$
Dodécaèdre	116,56°	${\displaystyle \varphi \,}$	${\displaystyle \pi \over 5}$	${\displaystyle 2\arctan(\varphi ^{5})}$	${\displaystyle \approx 2,96174}$
Icosaèdre	138,19°	${\displaystyle \varphi ^{2}\,}$	${\displaystyle \pi \over 3}$	${\displaystyle 2\pi -5\arcsin \left({2 \over 3}\right)}$	${\displaystyle \approx 2,63455}$

Une autre vertu de la régularité est que les solides de Platon possèdent tous trois sphères concentriques :

• la sphère circonscrite qui passe à travers tous les sommets,
• la sphère moyenne (en) qui est tangente à chaque arête au milieu de celle-ci et
• la sphère inscrite qui est tangente à chaque face au centre de celle-ci.

Les rayons de ces sphères sont appelés les rayons circonscrits, les rayons moyens et les rayons internes. Ceux-ci sont les distances à partir du centre du polyèdre aux sommets, aux milieux des arêtes et aux centres de faces respectivement. Le rayon circonscrit R et le rayon interne r du solide {p, q} avec une longueur d'arête a sont donnés par

${\displaystyle R=\left({a \over 2}\right)\tan {\frac {\pi }{q}}\tan {\frac {\theta }{2}}}$

${\displaystyle r=\left({a \over 2}\right)\cot {\frac {\pi }{p}}\tan {\frac {\theta }{2}}}$

où θ est l'angle dièdre. Le rayon moyen ρ est donné par

${\displaystyle \rho =\left({a \over 2}\right){\frac {\cos(\pi /p)}{\sin(\pi /h)}}}$

où h est la quantité utilisée ci-dessus dans la définition de l'angle dièdre (h = 4, 6, 6, 10 ou 10). Noter que le rapport du rayon circonscrit au rayons interne est symétrique dans p et q :

${\displaystyle {R \over r}=\tan {\frac {\pi }{p}}\tan {\frac {\pi }{q}}.}$

La superficie A d'un solide de Platon {p, q} est facilement calculée, c'est l'aire d'un p-gone régulier fois le nombre de faces F. C’est-à-dire :

${\displaystyle A=\left({a \over 2}\right)^{2}Fp\cot {\frac {\pi }{p}}.}$

Le volume est calculé comme étant F fois le volume de la pyramide dont la base est un p-gone régulier et dont la hauteur est le rayon interne r. C’est-à-dire :

${\displaystyle V={1 \over 3}rA.}$

Le tableau suivant liste les divers rayons des solides de Platon ainsi que leurs aires A et leurs volumes V, et deux taux de remplissage : les rapports entre ces volumes V et ceux, V_S = 4πR³/3, de la sphère circonscrite et V_s = 4πr³/3, de la sphère inscrite. La taille globale est fixée en prenant la longueur d'arête, a, égale à 2.

Polyèdre (a = 2)	r	ρ	R	A	V	V/VS[5]	Vs/V[6]
Tétraèdre	${\displaystyle 1 \over {\sqrt {6}}}$	${\displaystyle 1 \over {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3 \over 2}}}$	${\displaystyle 4{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{3\pi {\sqrt {3}}}}\simeq 0{,}12}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6{\sqrt {3}}}}\simeq 0{,}30}$
Cube	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle {\frac {2}{\pi {\sqrt {3}}}}\simeq 0{,}37}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}\simeq 0{,}52}$
Octaèdre	${\displaystyle {\sqrt {2 \over 3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 8{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {8{\sqrt {2}}}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\simeq 0{,}32}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}\simeq 0{,}60}$
Dodécaèdre	${\displaystyle {\frac {\varphi ^{2}}{\xi }}}$	${\displaystyle \varphi ^{2}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}\,\varphi }$	${\displaystyle 60{\frac {\varphi }{\xi }}}$	${\displaystyle 20{\frac {\varphi ^{3}}{\xi ^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {\varphi }{\pi }}{\sqrt {5 \over 3}}\simeq 0{,}66}$	${\displaystyle {\frac {\pi \varphi ^{7/2}}{15{\sqrt[{4}]{5}}}}\simeq 0{,}75}$
Icosaèdre	${\displaystyle {\frac {\varphi ^{2}}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle \varphi }$	${\displaystyle \xi \varphi }$	${\displaystyle 20{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {20\varphi ^{2}}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {\varphi }}{\sqrt[{4}]{5}}}{\pi }}\simeq 0{,}61}$	${\displaystyle {\frac {\pi \varphi ^{4}}{15{\sqrt {3}}}}\simeq 0{,}83}$

Les constantes φ et ξ ci-dessus sont données par

${\displaystyle \varphi =2\cos {\pi \over 5}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\qquad \xi =2\sin {\pi \over 5}={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=5^{1/4}\varphi ^{-1/2}.}$

Parmi les solides de Platon, le dodécaèdre ou l'icosaèdre peuvent être regardés comme la meilleure approximation de la sphère. L'icosaèdre a le plus grand nombre de faces, le plus grand angle dièdre, et son enveloppe est la plus proche de sa sphère inscrite. Le dodécaèdre, d'un autre côté, a le plus petit défaut angulaire, le plus grand angle solide au sommet et il remplit le plus sa sphère circonscrite.

Un dual cube-octaèdre.

Chaque polyèdre possède un polyèdre dual avec les faces et les sommets interchangés. Le dual de chaque solide de Platon est un autre solide de Platon, c’est-à-dire que nous pouvons arranger les cinq solides en paires duales.

• Le tétraèdre est auto-dual (i.e. son dual est un autre tétraèdre).
• Le cube et l'octaèdre forment une paire duale.
• Le dodécaèdre et l'icosaèdre forment une paire duale.

Si un polyèdre possède un symbole de Schläfli {p, q}, alors son dual possède le symbole {q, p}. En effet, chaque propriété combinatoire d'un solide de Platon peut être interprétée comme une autre propriété combinatoire du dual.

En mathématiques, le concept de symétrie est étudié avec la notion de groupe mathématique. Chaque polyèdre possède un groupe de symétrie associé, qui est l'ensemble de toutes les transformations (isométries euclidiennes) qui laissent le polyèdre invariant. L'ordre du groupe de symétrie est le nombre de symétries du polyèdre. On fait souvent une distinction entre le groupe de symétrie total, qui inclut les réflexions, et le groupe de symétrie propre, qui inclut seulement les rotations.

Les groupes de symétrie des solides de Platon sont connus sous le nom de groupes polyédriques (en) (qui sont une classe particulière des groupes ponctuels en dimension trois (en)). Le haut degré de symétrie des solides de Platon peut être interprété de différentes manières. Pour la plus importante, les sommets de chaque sommet sont tous équivalents sous l'action du groupe de symétrie, comme sont les arêtes et les faces. On dit que l'action du groupe de symétrie est transitive sur les sommets, les arêtes et les faces. En fait, c'est une autre manière de définir la régularité d'un polyèdre : un polyèdre est régulier si et seulement s'il est de sommet uniforme, d'arête uniforme et de face uniforme.

Il existe seulement trois groupes de symétrie associés avec les solides de Platon plutôt que cinq, puisque le groupe de symétrie d'un polyèdre quelconque coïncide avec celui de son dual. Ceci est vu facilement en examinant la construction du polyèdre dual. Toute symétrie de l'original doit être une symétrie du dual et vice-versa. Les trois groupes polyédriques sont :

• le groupe tétraédrique T,
• le groupe octaédrique O (qui est aussi le groupe de symétrie du cube) et
• le groupe icosaédrique I (qui est aussi le groupe de symétrie du dodécaèdre).

Les ordres des groupes propres (rotations) sont 12, 24 et 60 respectivement — précisément, deux fois le nombre des arêtes dans le polyèdre respectif. Les ordres des groupes de symétrie totaux sont deux fois de nouveau les ordres précédents (24, 48 et 120). Voir (Coxeter 1973) pour une déduction de ces faits.

Le tableau suivant liste les diverses propriétés de symétrie des solides de Platon. Les groupes de symétrie listés sont les groupes totaux avec les sous-groupes de rotation donnés entre parenthèses (comme pour le nombre de symétries). La construction kaléidoscopique de Wythoff est une méthode pour la construction des polyèdres directement à partir des groupes de symétrie. Nous listons la référence du symbole de Wythoff pour chaque solide de Platon.

Le tétraèdre, le cube et l'octaèdre apparaissent tous naturellement dans les structures cristallines. Ceux-ci n'épuisent nullement les nombres de formes possibles de cristaux. Néanmoins, ni l'icosaèdre régulier, ni le dodécaèdre régulier ne figurent parmi eux. Une de ces formes, appelée le pyritoèdre (nommé en rapport avec le groupe des minéraux avec lequel il est typique) a douze faces pentagonales, arrangées avec le même motif que les faces du dodécaèdre régulier. Néanmoins, les faces du pyritoèdre ne sont pas régulières, donc, le pyritoèdre n'est pas non plus régulier.

Circogonia icosahedra, une espèce de radiolaire, formée comme un icosaèdre régulier.

Au début du XX^e siècle, Ernst Haeckel décrivit[7] de nombreuses d'espèces de radiolaires, certaines comportant des squelettes ayant la forme de divers polyèdres réguliers. Ses exemples incluent Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus et Circorrhegma dodecahedra, les formes de ces créatures étant évidentes d'après leurs noms.

Beaucoup de virus, tel que le virus de l'herpès, ont la forme d'un icosaèdre régulier. Les structures virales sont construites sur des sous-unités de protéines identiques répétées et l'icosaèdre est la forme la plus facile à assembler en utilisant ces sous-unités. Un polyèdre régulier est utilisé car il peut être construit à partir d'une unité de protéine basique utilisée indéfiniment, ceci engendre un espace dans le génome viral.

En météorologie et en climatologie, les modèles numériques globaux des flux atmosphériques sont d'un intérêt croissant. Ils emploient des grilles qui sont basées sur un icosaèdre (raffiné par triangulation) à la place de la grille longitude/latitude plus communément utilisée. Ceci a l'avantage d'avoir une résolution spatiale également distribuée sans singularités (i.e. les pôles géographiques) aux dépens d'une certaine difficulté numérique plus grande.

La géométrie des structures spatiales est souvent basée sur les solides de Platon. Dans le système MERO, les solides de Platon sont utilisés pour la convention de nomenclature des diverses configurations d'armatures d'espace. Par exemple ½O+T fait référence à une configuration faite d'un demi-octaèdre et un tétraèdre.

Par ailleurs, les solides de Platon sont souvent utilisés pour fabriquer des dés. Les dés à 6 faces sont très communs, mais les autres nombres sont communément utilisés dans les jeux de rôle. De tels dés sont souvent appelés dn où n est le nombre de faces (d8, d20, etc.).

Les dés polyédriques sont souvent utilisés dans les jeux de rôle. On leur ajoute couramment le trapézoèdre pentagonal, qui n'est pas un solide de Platon.

Dans les années 1960, les joueurs de jeux de guerre ont éprouvé le besoin d'obtenir des valeurs aléatoires sur une plage plus importante que de 1 à 6 tout en gardant une fonction de masse uniforme (une « probabilité plate »), alors que si l'on ajout plusieurs dés, on obtient une probabilité « en cloche », favorisant les résultats médian (conséquence théorème central limite). On évoquait déjà l'utilisation d'icosaèdres mais il était difficile de s'en procurer et ils étaient chers. En 1971, Gary Gygax utilise un système de jetons à piocher dans une boîte pour obtenir des résultats entre 1 et 20 pour le jeu Tractics (en)[8]. En découvrant du matériel pédagogique présentant des solides de Platon en plastique, Gary Gygax a l'idée de mettre des numéros dessus et les utilise pour Donjons et Dragons (1974)[9].

Ces formes apparaissent fréquemment dans d'autres jeux ou d'autres puzzles. Des puzzles similaires aux Rubik's Cube ont vu le jour dans toutes ces formes — voir Puzzle combinatoire (en).

Il existe quatre polyèdres réguliers qui ne sont pas convexes, appelés les solides de Kepler-Poinsot. Ceux-ci ont tous la symétrie icosaédrique et peuvent être obtenus par stellations du dodécaèdre et de l'icosaèdre.

Cuboctaèdre

Icosidodécaèdre

Les prochains polyèdres convexes les plus réguliers après les solides de Platon sont le cuboctaèdre, qui est une rectification (en) du cube et de l'octaèdre, et l'icosidodécaèdre, qui est une rectification du dodécaèdre et de l'icosaèdre (la rectification du polyèdre auto-dual, le tétraèdre, est un octaèdre régulier). Ils sont tous les deux quasi-réguliers ce qui signifie qu'ils sont de sommet et d'arête uniformes et qu'ils ont des faces régulières, mais les faces ne sont pas toutes isométriques (provenant de deux classes différentes). Ils forment deux des treize solides d'Archimède, qui sont des polyèdres uniformes convexes avec une symétrie polyédrique.

Les polyèdres uniformes forment une classe beaucoup plus grande de polyèdres. Ces solides sont de sommets uniformes et on un ou plusieurs types de polygones réguliers (convexes ou étoilés) pour faces. Ceux-ci incluent tous les polyèdres mentionnés ci-dessus avec l'ensemble infini des prismes, l'ensemble infini des antiprismes ainsi que 53 autres formes non-convexes.

Les solides de Johnson sont des polyèdres convexes qui ont des faces régulières mais qui ne sont pas uniformes.

Les trois pavages réguliers du plan sont fortement reliés aux solides de Platon. En effet, on peut regarder les solides de Platon comme les cinq pavages réguliers de la sphère. Ceci est effectué en projetant chaque solide sur une sphère concentrique. Les faces projettent sur des polygones sphériques réguliers qui couvrent exactement la sphère. On peut montrer que chaque pavage régulier de la sphère est caractérisé par une paire d'entiers {p, q} avec 1/p + 1/q > 1/2. De même, un pavage régulier du plan est caractérisé par la condition 1/p + 1/q = 1/2. Il existe trois possibilités :

• {4, 4} qui est le pavage carré,
• {3, 6} qui est le pavage triangulaire et
• {6, 3} qui est le pavage hexagonal (dual du pavage triangulaire).

D'une manière similaire, on peut considérer les pavages réguliers sur le plan hyperbolique. Ils sont caractérisés par la condition 1/p + 1/q < 1/2. Il existe un nombre infini de tels pavages.

Lorsqu'il y a plus de trois dimensions, les polyèdres se généralisent aux polytopes. Dans le milieu du XIX^e siècle, le mathématicien suisse Ludwig Schläfli découvrit les analogues quadridimensionnels des solides de Platon, appelés les 4-polytopes réguliers convexes. Il existe exactement six de ces figures ; cinq sont analogues aux solides de Platon, tandis que le sixième, le 24-cellules, n'a pas d'analogue en dimension inférieure.

Dans les dimensions plus élevées que quatre, il existe seulement trois polytopes réguliers convexes : le simplexe, l’hypercube et l’hyperoctaèdre. En trois dimensions, ceux-ci coïncident avec le tétraèdre, le cube et l’octaèdre.

• Polytope régulier
• Liste des polytopes réguliers (en)
• Livre XIII des Éléments d'Euclide
• Hydrocarbure de Platon - les solides de Platon moléculaires
• Patron (géométrie)
• Libellus de quinque corporibus regularibus de Piero della Francesca
• Trattato d'abaco de Piero della Francesca

• Platon, Timée (vers 358 av. J.-C.), 55 e-56 c. Trad. L. Brisson, Timée/Critias, Garnier-Flammarion, 3° éd. revue 1996
• Euclide, Éléments (vers 300 av. J.-C.), livre XIII, Euclide, Les Éléments, volume IV, Livre XI-XIII, Géométrie des solides ; trad. du texte par Heiberg et commentaires par Bernard Vitrac. Paris, Presses universitaires de France, 2001, (Bibliothèque d'histoire des sciences), 482 p. (ISBN 2-13-051927-X)

• (en) platonicsolids.info
• (en) Interactive polyhedra en Java
• (en) Platonic Solids (animation interactive) sur agutie.homestead.com
• (en) Pictures of Platonic Solids (patrons en papier)

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