Dodécaèdre régulier

Si a est la longueur d'une arête :

• le rayon de sa sphère circonscrite est : ${\displaystyle R={\sqrt {3}}\;{\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\;a={\frac {\sqrt {3}}{2}}\;\varphi \;a}$ où ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ est le nombre d'or ;
• son aire est : ${\displaystyle A=3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\;a^{2}=3{\sqrt {5(3+4\varphi )}}\;a^{2}}$;
• son volume est : ${\displaystyle V={\frac {15+7{\sqrt {5}}}{4}}\;a^{3}={\frac {4+7\varphi }{2}}\;a^{3}}$ ;
• son angle dièdre (entre deux faces) vaut : ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {1}{\sqrt {5}}}\right)=\operatorname {arccot} \left(-{\frac {1}{2}}\right)\simeq 116{,}565^{\circ }}$ ;
• les 20 points de coordonnées ${\displaystyle \left(0,\pm {\frac {1}{\varphi }},\pm \varphi \right),\quad \left(\pm {\frac {1}{\varphi }},\pm \varphi ,0\right),\quad \left(\pm \varphi ,0,\pm {\frac {1}{\varphi }}\right),\quad (\pm 1,\pm 1,\pm 1)}$ sont les sommets d'un dodécaèdre régulier centré sur l'origine et d'arête ${\displaystyle a={\frac {2}{\varphi }}}$.

Le dodécaèdre admet un centre de symétrie.

Les isométries laissant globalement invariant le dodécaèdre régulier forment un groupe. Ce groupe contient :

• les rotations d’axe passant par 2 sommets opposés et d'angle 2π/3 ou 4π/3 (120° et 240°). Il y a 10 couples de sommets opposés, donc 20 rotations de ce type ;
• les rotations d’axe passant par le centre de 2 faces opposées et d'angle 2π/5, 4π/5, 6π/5, ou 8π/5 (72°, 144°, 216° et 288°). Comme il y a 6 couples de faces opposées, il y a 24 rotations de ce type ;
• les rotations d'un angle π (180°) autour d'un axe par le milieu de 2 arêtes opposées (ces rotations sont aussi des symétries axiales). Il y a 15 couples d’arêtes opposées, et donc 15 rotations de ce type ;
• la symétrie s par rapport à son centre;
• les symétries par rapport à un plan passant par le centre et perpendiculaire à un des 15 axes cités plus haut ;
• etc.

Les 20 sommets d'un dodécaèdre régulier d'arête 1 peuvent être utilisés pour construire 5 cubes distincts d'arête ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ (le nombre d'or).

Avec l'identité, les 20 + 24 + 15 rotations énoncées forment un sous-groupe de 60 éléments isomorphe au groupe alterné A₅. Une rotation quelconque permute en effet les cinq cubes qui composent le dodécaèdre, et inversement, une quelconque permutation paire des cinq cubes définit une unique rotation.

De même, l'identité et la symétrie s forment un autre sous-groupe noté C₂.

Le groupe des isométries noté ${\displaystyle I_{h}}$ est le produit de ses deux sous-groupes ;

il contient 120 éléments.

Le dodécaèdre régulier et l'icosaèdre régulier sont duaux l'un de l'autre, c'est-à-dire que le polyèdre ayant pour sommets les centres des faces de l'un est l'homothétique de l'autre.

Le squelette du dodécaèdre régulier — l'ensemble de ses sommets reliés par ses arêtes — forme un graphe appelé graphe dodécaédrique.

Platon mettait en correspondance le dodécaèdre avec le Tout parce que c'est le solide qui ressemble le plus à la sphère. Aristote a nommé ce cinquième élément, aithêr (aether en latin, « éther » en français) et a postulé que l'univers était fait de cet élément, et qu'il était substantiel à tous les autres, qu'il les contenait tous.

Le dodécaèdre admet cinq triplets de plans orthogonaux passant par le centre et qui sont chacun des plans de symétrie du dodécaèdre.

1. Construction des trois premières faces.

Soit ABCDE un pentagone régulier constituant la première face F1, de centre O et d’arête de longueur a. Dans le plan ABC, la perpendiculaire à AB passant par E coupe la droite OA en H. Dans le plan passant par OAH et perpendiculaire au plan ABC, soit G un des deux points d’intersection de la perpendiculaire au plan en H avec le cercle de centre A et de rayon a. Les points E et G sont dans un même plan perpendiculaire à AB, et à la même distance de AB. Il existe donc une rotation d’axe AB transformant E en G. Soit F3 la transformée de F1 par cette rotation : c’est un pentagone régulier ayant l’arête commune AB avec F1. Soit F2 le symétrique de F3 par rapport au plan OAG : c’est un pentagone régulier ayant l’arête commune AB avec F1 et ayant l’arête commune AG avec F3.

2. Construction des trois faces suivantes.

Soit R la rotation d’axe passant par O et perpendiculaire au plan ABC et de 1/5 de tour. Elle transforme la face F2 en la face F3, car les plans EAG et ABG forment le même angle avec le plan ABC. Soient F4, F5 et F6 les transformées de F2 par les rotations respectives R², R³ et R⁴. F2 a une arête commune avec F3, donc F6 a une arête commune avec R⁴(F3), qui est égal à R⁵(F2), soit F2.

3. Construction des six dernières faces.

Soit S la rotation d’axe passant par le centre de la face F2 et perpendiculaire à celle -ci, et de 1/5 de tour. Elle transforme les faces F1 et F3 respectivement en les faces F6 et F1, car les plans de F1, de F3 et de F6 forment le même angle avec le plan de F2. Par ailleurs, la face F4 a une arête commune avec F1 et une arête commune avec F3, mais aucune arête commune avec F2. Sa transformée S(F4) a donc une arête commune avec F6 et avec F1, mais aucune avec F2 : c’est donc F5.

Soient F7 et F8 les transformées de F1 par les rotations respectives S² et S³. F1 ayant une arête commune avec F6, F8 a une arête commune avec F3.

Soient F9, F10 et F11 les transformées de F4 par les rotations respectives S², S³ et S⁴. F4 ayant une arête commune avec F5, F11 a une arête commune avec F4.

L’arête de F4 qui n’est commune avec aucune des dix autres faces précédemment définies, est transformée par S, S², S³ et S⁴ en une arête respectivement de F5, F9, F10, et F11, qui sont dans un même plan et forment un pentagone régulier, douzième face du dodécaèdre.

Le poète médiéval Jean de Meung (1240-1305) a décrit un jeu de société divinatoire, dénommé « dodechedron », qui utilise un dé en forme de dodécaèdre régulier, dont chacune des douze faces représente un des signes du Zodiaque[1].

Le Megaminx est un casse-tête dérivé du Rubik's cube en forme de dodécaèdre régulier.

Certains jeux de rôles sur table utilisent dans leur système de jeu des dés à 12 faces pour la résolution d'actions. Ces dés à 12 faces sont des dodécaèdres.

• Composé de cinq cubes (en)
• Dodécaèdre romain
• Espace dodécaédrique de Poincaré

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