Face (géométrie)

En géométrie convexe (en), une face d'un polytope convexe P est définie comme étant le polytope intersection de P avec l'un de ses hyperplans d'appui.

Une face de dimension k est appelée k-face.

Par cette définition, un 4-polytope (par exemple, un tesseract) possède les faces suivantes :

• 4-face : le 4-polytope lui-même, de dimension 4 ;
• 3-face : toute cellule, de dimension 3 ;
• 2-face : toute face polygonale (correspondant à la définition courante du terme) ;
• 1-face : toute arête
• 0-face : tout sommet
• l'ensemble vide.

• 
  Diagramme de Schlegel d'un tesseract, hypercube en 4 dimensions : chaque arête est entourée par 3 cellules cubiques. Le polychore possède au total 8 cellules cubiques, 24 faces carrées, 32 arêtes et 16 sommets.
• 
  Pavage carré : chaque sommet du pavage est entouré par quatre faces.

Si un polytope est de dimension n, ses (n-1)-faces sont parfois appelées « facettes ». Il s'agit, par exemple, d'une cellule d'un 4-polytope, d'un « face » d'un polyèdre ou d'une arête d'un polygone.

Une (n-2)-face est parfois appelée « arête ».