4-polytope


En géométrie, un 4-polytope (fréquemment appelé également un polychore[1]) est un polytope de l'espace à quatre dimensions[2],[3]. C'est une figure connexe, composée d'un nombre fini de polytopes de dimension inférieure : des sommets, des arêtes, des faces (qui sont des polygones), et des cellules (qui sont des polyèdres), chaque face appartenant à exactement deux cellules. Le 4-polytope le plus connu est le tesseract (ou hypercube), analogue en 4D du cube.

Graphes des six 4-polytopes réguliers convexes
{3,3,3} {3,3,4} {4,3,3}

5-cellules
Pentachore
4-simplexe
16-cellules
Orthoplexe
4-hyperoctaèdre
8-cellules
Tesseract
4-cube
{3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}

Octaplexe
24-cellules
Dodécaplexe
120-cellules
Tétraplexe
600-cellules

Définition

La définition des 4-polytopes varie beaucoup selon les auteurs. Une définition simple des 4-polytopes convexes est d'être l'enveloppe convexe d'un ensemble fini de points de non tous situés dans le même hyperplan. Il est facile alors de définir les sommets, les arêtes, les faces et les cellules du polytope comme les polytopes de dimension inférieure inclus dans la frontière ; on en déduit une définition plus abstraire, et ne se limitant pas à la convexité, comme ensemble de polyèdres de ayant une structure combinatoire convenable (par exemple, chaque polygone appartient exactement à deux polyèdres) ; cette description a amené à la notion encore plus abstraite de complexe simplicial.

Visualisation
Exemples de représentations du 24-cellules
Sections Patron
Projections
de Schlegel orthogonale 2D orthogonale 3D en rotation 4D

Une véritable visualisation des 4-polytopes étant impossible dans l'espace usuel, plusieurs méthodes ont été imaginées pour les représenter.

Projections orthogonale

Les projections orthogonales sont particulièrement utiles pour mettre en évidence les symétries de certains 4-polytopes. Elles peuvent être dessinées dans le plan comme des graphes montrant les sommets et les arêtes, ou dans l'espace (en mettant les 2-faces en évidence).

Projections en perspective

Une des projections les plus utiles pour donner un sens de la profondeur dans la quatrième dimension est le diagramme de Schlegel, une projection stéréographique des sommets du polytope (supposés incrits dans une 3-sphère) vers l'espace usuel, et connectant ensuite ces sommets par des arêtes (qui ne sont pas nécessairement les projetés des arêtes réelles).

Sections
Patron d'un tesseract et son pliage

Une section d’un polyèdre par un plan est un polygone ; de même, couper un 4-polytope par un hyperplan fait apparaître un polyèdre. Une suite de ces sections par des hyperplans parallèles donne une idée de la forme glmobale, et on peut en donner une représentation animée (ce qui revient à utiliser le temps comme quatrième dimension).

Patrons

Le patron d'un 4-polytope est formé de cellules polyhédrales connectées par leurs faces ; reconstruire le polytope demande en plus des indications de pliage dans la quatrième dimension.

Caractéristiques topologiques
Diagramme de Schlegel du tesseract.

La caractéristique d'Euler, suffisante pour classer les polyèdres (et plus généralement les surfaces compactes de l'espace à trois dimensions) à isomorphisme près, ne se généralise pas utilement aux dimensions supérieures, ce qui a amené à la découverte des nombres de Betti[4] ; de même, l'orientabilité doit être remplacée par l'étude plus générale de la torsion des groupes d'homologie du polytope[4].

Classifications

Terminologie

Classes
Le 120-cellules tronqué (en) est un des quarante-sept 4-polytopes uniformes convexes non prismatiques.

Les classes suivantes regroupent des polytopes présentant de nombreuses symétries. D'autres classes ont été étudiées, mais généralement de manière beaucoup moins exhaustive.

4-polytopes uniformes :

  • 4-polytopes uniformes convexes (64, plus deux familles infinies)
  • 4-polytopes uniformes non convexes
    Le grand 120-cellules étoilé (en) est le plus grand des dix 4-polytopes réguliers étoilés ; il possède 600 sommets.
    • 10 polytopes réguliers étoilés (les polytopes de Schläfli-Hess (en))
    • 57 hyperprismes construits sur les polyèdres uniformes étoilés
    • D'autres 4-polytopes uniformes non convexes, en nombre total encore inconnu : en 2005, Norman Johnson et ses collaborateurs en avaient identifié plus de 1800, en utilisant le logiciel Stella 4D (en)[5]

Autres classes

Généralisations
Le pavage cubique est le seul 4-polytope infini régulier dans l'espace euclidien à trois dimensions.

Les pavages de l'espace (à trois dimensions) généralisent les 4-polytopes (ce sont des 4-polytopes infinis), tout comme les pavages du plan généralisent les polyèdres. Un pavage uniforme est constitué de polyèdres uniformes.

4-polytopes uniformes infinis de l'espace euclidien

  • 28 pavages convexes uniformes (en), parmi lesquels 1 pavage régulier, le pavage cubique {4,3,4}.

4-polytopes uniformes infinis de l'espace hyperbolique

  • 76 pavages dits wythoffiens, parmi lesquels 4 pavages réguliers : {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4} et {5,3,5}.

Les polytopes abstraits sont des structures combinatoires analogues aux polytopes, mais n'ayant pas de réalisation géométrique. Un exemple en dimension 2 est le digone.

Le 11-cellules (en) est un 4-polytope régulier abstrait, représentable en identifiant (par les couleurs) ses 11 cellules hémi-icosaédrales.

4-polytopes uniformes abstraits

Voir aussi

Références

Notes
  1. (en) N.W. Johnson, Geometries and Transformations, (2018) (ISBN 978-1-107-10340-5) Chapter 11: Finite Symmetry Groups, 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.224
  2. T. Vialar, Complex and Chaotic Nonlinear Dynamics: Advances in Economics and Finance, Springer, (ISBN 978-3-540-85977-2, lire en ligne), p. 674
  3. V. Capecchi, Contucci, P., Buscema, M. et D'Amore, B., Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts, Springer, (ISBN 978-90-481-8580-1, DOI 10.1007/978-90-481-8581-8, lire en ligne), p. 598
  4. (en) Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy, Princeton, 2008.
  5. (en) Norman Johnson, Uniform Polychora,

Bibliographie
  • H.S.M. Coxeter:
    • H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins and J. C. P. Miller: Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
    • H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd Edition, Dover New York, 1973
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, (ISBN 978-0-471-01003-6)
    • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
    • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
  • J.H. Conway et M.J.T. Guy: Four-Dimensional Archimedean Polytopes, Proceedings of the Colloquium on Convexity at Copenhagen, page 38 und 39, 1965
  • N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
  • Four-dimensional Archimedean Polytopes (German), Marco Möller, 2004 PhD dissertation

Liens externes
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