Sphère circonscrite

En cas d'existence, une sphère circonscrite n'est pas la plus petite sphère contenant le polyèdre ; par exemple, le tétraèdre rectangle formé par un sommet d'un cube et ses trois voisins admet la sphère circonscrite au cube comme sphère circonscrite, mais il existe une sphère englobante à ce tétraèdre plus petite, celle avec les trois sommets voisins sur son équateur. Cependant, la plus petite sphère contenant un polyèdre donné est toujours la sphère circonscrite de l'enveloppe convexe d'un sous-ensemble des sommets du polyèdre[2].

De même qu'un triangle dans le plan admet un unique cercle circonscrit, il existe pour tout tétraèdre non aplati une unique sphère circonscrite passant par ses quatre sommets.

• Sphères circonscrites des solides de Platon
• 
  Tétraèdre.
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  Cube.
• 
  Octaèdre.
• 
  Dodécaèdre.
• 
  Icosaèdre.

La sphère circonscrite est l'analogue en dimension 3 du cercle circonscrit.

Tous les polyèdres réguliers ont des sphères circonscrites, mais la plupart des polyèdres irréguliers n'en ont pas. La sphère circonscrite - quand elle existe - est un exemple de sphère englobante, une sphère qui contient une forme donnée. Il est possible de définir la plus petite sphère englobante de tout polyèdre, et de la déterminer en un temps linéaire[2].

On peut définir d'autres sphères pour certains polyèdres comme la sphère médiane (en), une sphère tangente aux côtés du polyèdre, et une sphère inscrite, qui est elle tangente aux faces - cette distinction n'existe pas en dimension 2 où les deux concepts se résumant au cercle inscrit à un polygone. Dans un polyèdre régulier, les sphères circonscrite, médiane et inscrite existent toutes et sont concentriques[3].

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Circumscribed sphere » (voir la liste des auteurs).