Logarithme

Les fonctions logarithme sont par définition les morphismes continus non constamment nuls de ${\displaystyle (\mathbb {R} _{+}^{*},\times )}$ vers ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$.

Pour tout réel b strictement positif et différent de 1, le logarithme de base b : log_b est la fonction continue définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ vérifiant l'équation fonctionnelle :

pour tous x et y réels strictement positifs,

${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}$

et

${\displaystyle \log _{b}(b)=1}$

Cette définition permet de déduire rapidement les propriétés suivantes

${\displaystyle \log _{b}(1)=0}$

${\displaystyle \log _{b}(x/y)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}$

${\displaystyle \log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)}$

${\displaystyle \log _{b}(b^{n})=n}$ pour tout entier naturel n, puis pour tout entier relatif n

${\displaystyle \log _{b}(b^{r})=r}$ pour tout rationnel r.

Comme tout réel strictement positif x est la limite d'une suite dont le terme général est de la forme b^r_n, où (r_n) est une suite de rationnels convergeant vers un réel ${\displaystyle \ell }$, on détermine log_b(x) comme étant la limite de r_n.

Deux fonctions logarithmes ne diffèrent que d’une constante multiplicative : pour tous réels strictement positifs a et b différents de 1 et pour tout réel x > 0,

${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{\log _{a}(b)}}}$.

Toutes les fonctions logarithmes peuvent donc s’exprimer à l’aide d’une seule, par exemple la fonction logarithme népérien : pour tout réel strictement positif b différent de 1 et pour tout réel x > 0,

${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(b)}}}$.

La fonction log_b est dérivable sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ de dérivée :

${\displaystyle \log _{b}'(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}}$ qui a même signe que ln(b).

Donc la fonction log_b est strictement monotone, croissante quand b est supérieur à 1, décroissante dans le cas contraire.

Représentation dans le cas b > 1. Le graphe de la fonction logarithmique log_b(x) (bleu) est obtenu en reflétant celui de la fonction b^x (rouge) par rapport à la diagonale x = y.

La fonction ${\displaystyle \log _{b}:\mathbb {R} _{+}^{*}\to \mathbb {R} }$ est la bijection réciproque de la fonction exponentielle de base b[9], parfois appelée antilogarithme de base b :

${\displaystyle \operatorname {antilog_{b}}$ :\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}^{*},\;x\mapsto b^{x}} .

Autrement dit, les deux façons possibles de combiner (ou composer) les logarithmes et l’élévation à des puissances redonnent le nombre original :

• pour tout réel x, prendre la puissance x-ième de b, puis le logarithme en base b de cette puissance, redonne x :${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \log _{b}(b^{x})=x\log _{b}(b)=x}$ ;
• inversement, pour tout réel y strictement positif, prendre d'abord le logarithme en base b, puis élever b à sa puissance, redonne y :${\displaystyle b^{\log _{b}(y)}=y.}$

Les fonctions réciproques sont étroitement liées aux fonctions originales. Leurs graphes, qui se correspondent lorsqu’on échange les coordonnées x et y (ou par réflexion par rapport à la diagonale x = y), sont montrés à droite dans le cas où b est un réel strictement supérieur à 1 : un point (u, t = b^u) sur le graphe (rouge) de la fonction antilogarithme x ↦ b^x fournit un point (t, u = log_b(t)) sur le graphe (bleu) du logarithme et vice versa. Comme b > 1, la fonction log_b est croissante et quand x tend vers +∞, log_b(x) tend vers +∞, tandis que lorsque x approche zéro, log_b(x) tend vers –∞. Dans le cas où le réel b est strictement compris entre 0 et 1, la fonction log_b est décroissante et ces limites sont interverties.

En matière de calcul, l'antilog ramène des logarithmes aux valeurs. Soit à évaluer une formule F combinant multiplications, divisions et exponentiations, et soit f la formule définissant le logarithme de F en combinant sommes, différences et produits des (logarithmes) des données. La valeur de F peut s'obtenir comme l'antilog de la valeur de f, ce qui conclut le calcul. On peut ainsi remplacer l'évaluation ${\displaystyle F=(x\times y\times z)^{1/3}}$

par

${\displaystyle F=\operatorname {antilog} _{b}\left({\frac {\log _{b}(x)+\log _{b}(y)+\log _{b}(z)}{3}}\right)}$.

Le logarithme népérien, ou logarithme naturel, est la fonction logarithme dont la dérivée est la fonction inverse définie de ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ : ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$.

La fonction de Neper est par convention notée « ln »[10] ou « log », notation couramment utilisée en théorie des nombres et en informatique[11].

La base de la fonction logarithme népérien, notée e, est appelée nombre de Néper[12] ou nombre d'Euler[13]^,[14].

Une valeur approchée est :

${\displaystyle \mathrm {e} \approx 2{,}718}$.

C’est le logarithme le plus pratique dans les calculs numériques manuels, il est noté log ou log₁₀. La norme ISO 80000-2[15] indique que log₁₀ devrait être noté lg, mais cette notation est rarement utilisée.

On le retrouve dans la création des échelles logarithmiques, les repères semi-logarithmiques ou log-log, dans la règle à calcul, dans le calcul du pH, dans l’unité du décibel.

Il précise à quelle puissance il faut élever 10 pour retrouver le nombre de départ : l'image d'un nombre par log est l'entier relatif auquel il faut élever 10 pour obtenir l'antécédent. Par exemple :

En base 10 :

${\displaystyle \log _{10}(10)=1{\text{ car }}10^{1}=10}$

${\displaystyle \log _{10}(100)=2{\text{ car }}10^{2}=100}$

${\displaystyle \log _{10}(1000)=3{\text{ car }}10^{3}=1000}$

${\displaystyle \log _{10}(0,01)=-2{\text{ car }}10^{-2}=0,01}$

La valeur du logarithme d’autres nombres que des puissances de 10 demande un calcul approché. Le calcul de log(2) par exemple peut se faire à la main, en remarquant que 2¹⁰ ≈ 1000 donc 10 log₁₀(2) ≈ 3 donc log₁₀(2) ≈ 0,3.

Pour tout réel strictement positif b différent de 1 et pour tout réel x > 0,

${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{10}(x)}{\log _{10}(b)}}}$.

La norme ISO 80 000 recommande de noter lb le logarithme en base 2[16].

Le logarithme binaire, d'usage spécialisé dans le calcul des intervalles musicaux à partir d'un rapport de fréquences, pour obtenir des octaves, des demi-tons ou des cents, a trouvé beaucoup plus d'application en informatique. Les ordinateurs travaillant en système binaire, le calcul d'un logarithme en base 2 se fait par l'algorithme le plus précis et le plus efficace.

Un nombre x codé en virgule flottante binaire se décompose en une mantisse m, comprise entre 1 (inclus) et 2 (exclu) et un exposant p, indiquant la puissance de 2 qui multiplie la mantisse pour obtenir le nombre. L'exposant est la partie entière du logarithme binaire, tandis que le logarithme binaire de la mantisse est compris entre 0 (inclus) et 1 (exclu).

${\displaystyle x=2^{p}\times m\Longrightarrow {\textrm {lb}}(x)=p+{\textrm {lb}}(m).}$

Ce qui ramène le calcul à celui du logarithme binaire d'un nombre entre 1 (inclus) et 2 (exclu). Si on multiplie ce nombre par lui-même, et que le résultat dépasse 2, c'est que le nombre est supérieur à √2: le chiffre suivant, après la virgule, est un 1, dans le cas contraire, c'est un 0. On continue par itération jusqu'à la précision souhaitée.

Les deux logarithmes précédents se déduisent de celui-ci par :

${\displaystyle \ln(x)={\frac {\mathrm {lb} (x)}{\mathrm {lb} (\mathrm {e} )}}{\text{ et }}\log _{10}(x)={\frac {\mathrm {lb} (x)}{\mathrm {lb} (10)}}}$.

Le cologarithme d'un nombre est l'opposé du logarithme de ce nombre et le logarithme de son inverse[17] : ${\displaystyle \operatorname {colog} _{b}x=-\log _{b}x=\log _{b}{\frac {1}{x}}}$.

Simone Trompler, Histoire des logarithmes, publié en ligne en 2002 par l’Université libre de Bruxelles

• Portail de l'analyse