Échelle logarithmique

En économie, les valeurs des monnaies internationales, des actions, des matières premières et autres produits de commerce, soumis à une inflation des prix, s'inscrivent en échelle logarithmique sur l'axe des ordonnées, tandis que le temps s'inscrit en échelle linéaire sur l'axe des abscisses.

En électronique, la réponse en fréquence d'un système, et particulièrement d'un filtre, se représente généralement sur un diagramme semi-logarithmique, avec une échelle logarithmique pour les fréquences en abscisses et une échelle linéaire sur l'axe des ordonnées, graduée en décibels, par rapport à la tension obtenue à une certaine fréquence (par exemple, 1 000 Hz).

Comme les décibels sont une unité logarithmique, du point de vue de la tension électrique ou des rapports de tension, l'échelle est également logarithmique, ce qui permet, dans le Diagramme de Bode, les tracés asymptotiques, en lignes droites.

Échelle logarithmique à trois modules décimaux

• Valeur minimale : 0,1
• Valeur maximale : 100
• écart relatif : r = 100 ÷ 0,1 = 1000
• longueur de l'axe : 600 pixels

On veut que les multiples de 10 soient indiqués. Pour le rapport 1000, il y a trois multiplications par 10, correspondant à trois modules de 600 ÷ 3 = 200 pixels de long.

À l'intérieur de ces modules, on veut indiquer l'emplacement de chaque valeur, de 2 à 9.

• La multiplication par 2 correspond à la distance entre 0.1 et 0,2, 1 et 2, 10 et 20. La longueur correspondante s'obtient par une règle de trois sur les logarithmes : ${\displaystyle {\frac {600\times \log(2)}{\log(1000)}}}$, ce qui donne 60,2 pixels.
• De même la multiplication par 3, ${\displaystyle {\frac {600\times \log(3)}{\log(1000)}}}$ donne 95,4 pixels entre 0,1 et 0,3, 1 et 3 et 10 et 30. On est obligé d'arrondir, évidemment.
• On en tire facilement leurs multiples : la distance entre 1 et 4 est celle de deux multiplications par deux, donc 120,4 pixels ; entre 1 et 8, celle de trois multiplications par deux, soit 180,6 ; entre 1 et 6 celle d'une multiplication par trois et d'une multiplication par deux, soit 95,4 + 60,2 = 155,6 pixels ; et entre 1 et 9, celle de deux multiplications par 3, soit 190,8 pixels.
• La graduation 5 s'obtient facilement : puisque deux fois cinq font dix, la longueur de 0,5 à 1, de 5 à 10, de 50 à 100, est de 60,2 pixels (on peut donc noter que la multiplication par 5 correspond à une longueur de 200 − 60,2 = 139,8 pixels).
• Il ne reste que le 7 à placer, par le même procédé de règle de trois sur les logarithmes.
• La longueur de ces segments vaut pour les multiplications, et aussi pour les divisions.
• Un déplacement de un pixel vers la droite correspond à une augmentation de exp(log(1000)÷600) ≈ 1.0115795

Chacun des modules est reproduit trois fois, la forme est invariable, seule la légende des points change.

note: La base de logarithme dans laquelle s'effectuent les calculs n'a aucune importance.

Construction sans machine à calculer

• 2 multiplié dix fois par lui-même donne 1024. Il y a donc, à 2 % près, dix fois la longueur du segment correspondant à la multiplication par 2 entre les deux extrémités de l'échelle de 0,1 à 100, et donc ce segment mesure 600 ÷ 10 ≈ 60 pixels. Avec cette longueur, on peut placer les 2, 4, 5 et 8 comme indiqué ci-dessus.
• 7 × 7 donne 49, soit 50 à 2 % près. La longueur pour 100 est de deux modules de 200 pixels, soit 400 pixels, on en retranche la longueur pour 2 puisqu'il faut diviser la valeur par deux, reste 339,8 ; et la valeur pour 7 est la moitié, soit 169,9, qu'on arrondit à 169 puisque 7 × 7 est un peu moins que 50.
• 3 × 3 font 9. On connaît la longueur correspondant à 8, 3 × 60,2 = 180,6 pixels, celle correspondant à 10, 200 pixels, la longueur correspondant à 9 est entre les deux, (180,6 + 200) ÷ 2 = 190,3 ; celle correspondant à 3 est la moitié, qu'on arrondit à 95.