Intérêts composés

Pour calculer des intérêts composés annuellement, il faut utiliser une suite géométrique, dont la formule est :

${\displaystyle V_{f}=V_{i}\cdot (1+\rho )^{a}\,}$,

où ${\displaystyle V_{f}}$ est la valeur finale, ${\displaystyle V_{i}}$ la valeur initiale, ${\displaystyle \rho }$ le taux d'intérêt sur une période, et ${\displaystyle a}$ le nombre de périodes (d'années, semestres, trimestres, etc.). L'habitude est d'exprimer le taux d'intérêt en pourcentage, ainsi on écrira 2 % pour ${\displaystyle \rho =0,02}$.

Par exemple, en plaçant 10 unités d'une devise quelconque à un taux de 2 % par an pendant 5 ans, on obtient :

${\displaystyle 10\cdot (1+2/100)^{5}\approx 11,04}$ unités.

Après 10 ans, le total sera de 12,19 unités dans cette devise ; après un siècle, de 72,45 unités.

Cette somme ${\displaystyle V_{f}}$ est aussi celle qui est due par un emprunteur au bout de ${\displaystyle a}$ années, au taux d'intérêt ${\displaystyle \rho }$ (s'il n'a rien remboursé entre-temps).

Les intérêts peuvent aussi être composés sur ${\displaystyle n}$ fractions d'une année, par exemple 12 mois, même si le taux ${\displaystyle \rho }$ reste exprimé par an. Un intérêt égal à ${\displaystyle \rho /12}$ est alors versé à la fin de chaque mois. La valeur finale au bout de ${\displaystyle a}$ années est alors donnée par

${\displaystyle V_{f}=V_{i}\cdot (1+\rho /n)^{na}\,}$.

On peut aussi composer l'intérêt sur des trimestres ou des jours. Pour comparer les différentes périodes de composition, on calcule le taux effectif sur un an :

${\displaystyle 1-{\frac {V_{f}}{V_{i}}}=1-\left(1+\rho /n\right)^{n}}$.

Pour un même taux ${\displaystyle \rho }$, plus la période de composition est courte, plus le taux effectif est grand.

Mais il est intéressant de remarquer que le taux effectif converge vers une valeur bien définie lorsqu'on découpe l'année en une infinité de périodes de composition infiniment courtes, c'est-à-dire lorsque ${\displaystyle n}$ tend vers l'infini. En effet, on peut démontrer que :

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }(1+\rho /n)^{n}=e^{\rho }}$.

Cette formule est utilisée pour calculer ce qu'on appelle des intérêts composés continûment.

La règle dite des 72, quant à elle, est une méthode pour estimer le temps de doublement d'une valeur initiale. Si un capital est placé avec un taux d'intérêt de t% par période, il faudra 72/t périodes pour le doubler.

${\displaystyle V_{f}=V_{i}(1+\rho )^{a}\,}$

Cette formule donne la valeur future ${\displaystyle V_{f}}$ d'un investissement ${\displaystyle V_{i}}$ avec un accroissement à un taux d'intérêt de ${\displaystyle \rho }$ pendant ${\displaystyle a}$ périodes.

${\displaystyle V_{i}={\frac {V_{f}}{\left(1+\rho \right)^{a}}}\,}$

Cette formule donne la valeur initiale ${\displaystyle V_{i}}$ (ou valeur présente) nécessaire pour obtenir une certaine valeur future ${\displaystyle V_{f}}$ si le taux d'intérêt de ${\displaystyle \rho }$ est capitalisé pendant ${\displaystyle a}$ périodes.

${\displaystyle \rho =\left({\frac {V_{f}}{V_{i}}}\right)^{\left({\frac {1}{a}}\right)}-1}$

Cette formule donne le taux d'intérêt composé ${\displaystyle \rho }$ obtenu si un investissement initial ${\displaystyle V_{i}}$ donne une valeur finale ${\displaystyle V_{f}}$ après ${\displaystyle a}$ périodes d'accroissement.

${\displaystyle a={\frac {\ln {\frac {V_{f}}{V_{i}}}}{\ln {(1+{\rho })}}}}$

Cette formule donne le nombre de périodes ${\displaystyle a}$ nécessaires pour obtenir une valeur finale ${\displaystyle V_{f}}$ à partir d'un investissement initial ${\displaystyle V_{i}}$ si le taux d'intérêt est de ${\displaystyle \rho }$ (${\displaystyle \ln }$ désigne la fonction logarithme népérien).

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