Plan de remboursement

• C : capital emprunté
• t : taux de la période
• M : montant de l'échéance
• n : nombre d'échéances

On peut en déduire, en fonction de M/C et t, le nombre de mensualités nécessaires:

${\displaystyle N={\frac {\ln(M/C)-\ln(M/C-t)}{\ln(1+t)}}={\frac {\ln(M)-\ln(M-Ct)}{\ln(1+t)}}}$.

Exemple : si on emprunte 1 000 euros à 0,5 % d'intérêts mensuels (approximativement 6 % d'intérêts annuels) et que l'on rembourse 10 euros par mois, il faut

${\displaystyle {\frac {\ln(0,01)-\ln(0,005)}{\ln(1,005)}}=139}$ mensualités ou ${\displaystyle {\frac {\ln(10)-\ln(10-5)}{\ln(1,005)}}=139}$ mensualités

Soit 11 ans et 7 mois.

On peut aussi déterminer, en fonction de la durée de l'emprunt, le montant des mensualités:

${\displaystyle M=C{\frac {t}{1-(1+t)^{-N}}}}$

On préfère souvent parler en nombre d'années A et en taux annuel ${\displaystyle i}$. Pour des taux faibles (voir suite géométrique), on peut utiliser l'approximation suivante ${\displaystyle t=i/12}$ et on obtient alors la formule suivante

${\displaystyle M={\frac {C(i/12)}{1-(1+i/12)^{-N}}}}$

Exemple une somme de 1000 euros, empruntée sur 10 ans, donc 120 mois, à un taux annuel de 4,8 % nécessite un remboursement mensuel de

${\displaystyle {\frac {1000\times (0,048/12)}{1-(1+0,048/12)^{-10*12}}}={\frac {4}{1-1,004^{-120}}}=10,51}$ euros.

Il est possible de déterminer le montant du capital emprunté en fonction de la durée de l'emprunt, du taux et du montant des échéances :

${\displaystyle C=M{\frac {1-(1+t)^{-N}}{t}}}$

On peut enfin déterminer la somme réellement remboursée, en fonction de la somme empruntée C, de la durée de l'emprunt N en mois et du taux d'intérêt mensuel t.

${\displaystyle S=N\times M=C{\frac {Nt}{1-(1+t)^{-N}}}}$

Dans l'exemple précédent, la somme réellement remboursée est de 1 261 euros.