Algorithme de Jaumain

Soit à résoudre l’équation f(x) = 0 admettant une racine x. On suppose avoir trouvé (intuitivement ou d’une autre manière) une première approximation de la racine, soit x₀. On a (formule de Taylor) :${\textstyle f(x)-f(x_{0})=(x-x_{0})f'(x_{0})+(x-x_{0})^{2}f''(x_{0})/2!+...}$

d'où : ${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\approx (x-x_{0})f'(x_{0})}$

et : ${\displaystyle x\approx x_{1}=x_{0}-f(x_{0})/f'(x_{0})}$

On calcule successivement : ${\displaystyle x_{2}=x_{1}-f(x_{1})/f'(x_{1})}$

${\displaystyle x_{3}=x_{2}-f(x_{2})/f'(x_{2})}$

...

Si la suite {x₀, x₁, x₂, …} converge, elle converge vers x.

Graphique 1. Algorithme de Newton-Raphson : interprétation géométrique

On mène la tangente au point d’abscisse x₀ :

${\displaystyle y-f(x_{0})\approx (x-x_{0})f'(x_{0})}$

x₁ est l’abscisse du point d’intersection de la tangente au point d’abscisse x₀ avec l’axe des x :

${\displaystyle x_{1}=x_{0}-f(x_{0})/f'(x_{0})}$

x₂ est l’abscisse du point d’intersection de la tangente au point d’abscisse x₁ avec l’axe des x, et ainsi de suite :

${\displaystyle x_{2}=x_{1}-f(x_{1})/f'(x_{1})}$, etc.

L’algorithme converge si les conditions suivantes sont remplies :

1) f ’(x) ≠ 0 (pas de tangente horizontale)

2) f ”(x) ≠ 0 (pas de point d’inflexion)

3) f (x₀)· f ”(x₀) > 0 : pour x=x₀, f(x) est soit >0 et convexe (U), soit <0 et concave (∩).

Si la dernière condition n’est pas satisfaite (cas de la figure ci-après), x₁ peut être une moins bonne approximation que x₀.

Graphique 2. Algorithme de Newton-Raphson : conditions de convergence

Notation. Notons i le taux d’actualisation et v le facteur d’actualisation ou d’escompte v = 1 / (1+i).

On a : f(v) = -1 – 5·v – 4,5·v² + 5,5·v³ + 7·v⁴

f ’(v) = – 5 – 9·v + 16,5·v² + 28·v³

Adoptons par exemple le taux d’actualisation i = 0% comme valeur initiale i₀. Par conséquent v₀ = 1. 

Calcul du premier itéré : f(v₀) = 2

f ’(v₀) = 30,5

d’où : v₁ = 1 – 2 / 30,5 = 0,934426

soit : i₁ = 7,017544%

Calcul du 2^e itéré : f(v₁) = 0,222879

f ’(v₁) = 23,842280

d’où : v₂ = 0,934426 – 0,222879 / 23,842280 = 0,925078

soit : i₂ = 8,098974%

et ainsi de suite. Le tableau suivant résume le calcul des itérés successifs :

L’algorithme converge vers le TRI de 8,120020%, atteint à la 5^e ligne.

Remarque. La suite des VAN f(v_k) converge vers 0. L’itération peut être arrêtée lorsque l’écart entre deux VAN successives est suffisamment petit, par exemple 1 €. 

Notation. Notons (F , t) ou (F ; t) le flux financier F échéant à la date t.

On appelle échéance moyenne des flux (F₁ , t₁), ..., (F_n , t_n) avec F_k ≥ 0 la date τ telle que :

(F₁ , t₁) + ... +  (F_n , t_n)  =  (F , τ) où  F = F₁ + ... + F_n

${\displaystyle \tau }$ est par exemple la date à laquelle un débiteur pourrait s’acquitter des dettes F₁, ..., F_n  échéant respectivement aux dates t₁, ..., t_n par un paiement unique F égal à la somme arithmétique des dettes.

En égalant les valeurs actuelles, on obtient :

${\displaystyle F.v^{\tau }=F_{1}.v^{t_{1}}+...+F_{n}.v^{t_{n}}}$

d'où : ${\displaystyle \tau ={\frac {1}{\ln v}}\ln {\frac {F_{1}.v^{t_{1}}+...+F_{n}.v^{t_{n}}}{F}}}$

L’échéance moyenne dépend du taux d’actualisation adopté pour le calcul des valeurs actuelles. De manière plus précise, on note τ(i) l’échéance moyenne au taux d’actualisation i des flux (F₁, t₁), ..., (F_n, t_n).

Pour i=0, c’est-à-dire pour v=1, la fonction τ(i) prend la forme indéterminée 0/0. En appliquant le théorème de L'Hospital, on obtient la vraie valeur :

${\displaystyle \tau (i=0)={\frac {F_{1}.t_{1}+...+F_{n}.t_{n}}{F}}}$

τ(i=0) est donc l’échéance moyenne à intérêt simple des flux (F₁ , t₁), ..., (F_n , t_n). C’est le barycentre des points t₁, ... t_n de masse respective F₁, …, F_n c’est-à-dire la moyenne pondérée des échéances des flux. 

Ce résultat fournit une interprétation financière remarquable du concept mathématique de vraie valeur.

Si i=0, l’égalité ${\displaystyle F.v^{\tau }=F_{1}.v^{t_{1}}+...+F_{n}.v^{t_{n}}}$est vérifiée quel que soit τ : l’emprunteur peut s’acquitter à n’importe quelle date des dettes F₁, ..., F_n par le paiement unique F = F₁ + ... + F_n. Dans ce cas on peut donc, du point de vue financier, assigner à τ n’importe quelle valeur. La vraie valeur est, parmi cette infinité de valeurs qui toutes conviennent financièrement, la seule qui rende la fonction τ(i) continue quand i=0.

On démontre par ailleurs que τ est compris entre le plus petit et le plus grand des t_k et que, lorsque i→∞, τ tend vers le plus petit des t_k. En effet, si t₁ < t₂ < … < t_n alors :

${\displaystyle {\frac {F_{1}.t_{1}}{F_{1}}}<{\frac {F_{2}.t_{2}}{F_{2}}}<...<{\frac {F_{n}.t_{n}}{F_{n}}}}$

Il en résulte que : ${\displaystyle {\frac {F_{1}.t_{1}}{F_{1}}}<{\frac {F_{1}.t_{1}+F_{2}.t_{2}}{F_{1}+F_{2}}}<{\frac {F_{2}.t_{2}}{F_{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {F_{1}.t_{1}}{F_{1}}}<{\frac {F_{1}.t_{1}+F_{2}.t_{2}+F_{3}.t_{3}}{F_{1}+F_{2}+F_{3}}}<{\frac {F_{3}.t_{3}}{F_{3}}}}$

et ainsi de suite. Finalement : ${\displaystyle {\frac {F_{1}.t_{1}}{F_{1}}}<{\frac {\Sigma _{k}F_{k}.t_{k}}{\Sigma _{k}F_{k}}}<{\frac {F_{n}.t_{n}}{F_{n}}}}$

c’est-à-dire : t₁ < τ(i=0) < t_n

Pour i = ∞, c’est-à-dire pour v=0, la fonction τ(i) prend la forme indéterminée ∞/∞. En appliquant le théorème de L’Hospital, on obtient la vraie valeur :

τ(i=∞) = t₁

On démontre enfin que la dérivée de τ(v) par rapport à v est nulle pour v=1 c’est-à-dire pour i=0 et est positive pour v<1, de sorte que τ est une fonction croissante de v<1 donc décroissante de i>0.

La dérivée de τ(v) : ${\displaystyle \tau '(v)={\frac {-1}{v.\ln ^{2}v}}\ln {\frac {\Sigma _{k}F_{k}.v^{t_{k}}}{\Sigma _{k}F_{k}}}+{\frac {1}{\ln v}}{\frac {\Sigma _{k}F_{k}.t_{k}.v^{t_{k}-1}}{\Sigma _{k}F_{k}.v^{t_{k}}}}}$

est du signe de : ${\displaystyle z(v)={\frac {\Sigma _{k}F_{k}.t_{k}.v^{t_{k}}}{\Sigma _{k}F_{k}.v^{t_{k}}}}\ln v-{\frac {\Sigma _{k}F_{k}.v^{t_{k}}}{\Sigma _{k}F_{k}}}}$

qui est nul pour v=1. La dérivée de z(v) est du signe de :${\displaystyle (\Sigma _{k}F_{k}.t_{k}.v^{t_{k}})(\Sigma _{k}F_{k}.t_{k}.v^{t_{k}-1})-(\Sigma _{k}F_{k}.t_{k}^{2}.v^{t_{k}-1})(\Sigma _{k}F_{k}.v^{t_{k}})}$

Or, on démontre que (voir paragraphe 2.8. Annexe) :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}A_{k}\sum _{k=0}^{n-1}A_{k}B_{k}C_{k}-\sum _{k=0}^{n-1}A_{k}B_{k}\sum _{k=0}^{n-1}A_{k}C_{k}=\sum _{h=0}^{n-2}\sum _{l=1,l>h}^{n-1}A_{h}A_{l}(B_{h}-B_{l})(C_{h}-C_{l})}$

Si ${\displaystyle A_{k}=F_{k}.v^{t_{k}},}$ B_k = t_k et C_k = t_k / v, on voit que z’(v) est du signe de :

${\displaystyle -\sum _{h=1}^{n-1}\sum _{l=2,l>h}^{n}F_{h}.F_{l}.v^{t_{h}+t_{l}-1}(t_{h}-t_{l})^{2}}$

qui est négatif puisque les F_k sont positifs. z(v) est donc une fonction décroissante de v. Or z(1) = 0. Par conséquent z(v) > 0 pour v <1.

La dérivée de τ(v) par rapport à v est donc bien positive pour v<1, c'est-à-dire pour i>0, de sorte que τ est une fonction croissante de v<1 donc décroissante de i>0. Toutes les propriétés qui viennent d’être démontrées sont résumées par le graphique 3. 

Graphique 3. Etude de l’échéance moyenne en fonction du taux d’actualisation

Cet algorithme a été proposé par Christian Jaumain, Calcul du taux d’intérêt réel d’une opération financière, Bulletin de l’Association des Actuaires Suisses, 1979, 137-46. La méthode a été reprise dans H.U. Gerber, Life Insurance Mathematics, Springer-Verlag, 1990.

Soit les deux séries de flux financiers (C₁, r₁) + ... + (C_n, r_n) et (D₁, s₁) + ...+ (D_n, s_n), telles que :

(C₁, r₁) + ... + (C_n, r_n) = (D₁, s₁) + ... + (D_n, s_n)

Cette relation signifie qu’il revient au même de posséder – ou d’être redevable – des capitaux C₁, …, C_n aux dates respectives r₁, ..., r_n et de posséder – ou d’être redevable – des capitaux D₁, …, D_n aux dates respectives s₁, ..., s_n.

Ainsi par exemple, si i est l’intérêt annuel payable à terme échu d’un capital unitaire :

(1 ; 0) = (i ; 1) + (i ; 2) + … + (i ; n–1) + (1+i ; n)

Sans nuire à la généralité on peut, quel que soit k, supposer :

1) les C_k et D_k ≥ 0 quitte à transposer des termes de l’égalité d’un membre dans l’autre.

2) le nombre des C_k égal à celui des D_k, certains d’entre eux pouvant être nuls.

L’équilibre financier entre les deux séries (C₁ , r₁) + ... + (C_n , r_n) et (D₁ , s₁) + ... + (D_n , s_n) est réalisé pour zéro, un ou plusieurs taux d’actualisation particuliers qui sont les TRI.

On démontre qu’il existe un TRI unique positif si :

1) il n’y a qu’un seul changement de signe dans la séquence des flux (TRI unique) ;

2) la somme arithmétique des flux précédant le changement de signe est inférieure en valeur absolue à la somme arithmétique des flux suivants (TRI positif).

La méthode qui suit permet de calculer le TRI s’il est unique, ou un des TRI s’ils sont multiples.

Au taux d’actualisation i=0, soit respectivement ρ₀ et σ₀ l’échéance moyenne des flux (C₁, r₁), ..., (C_n, r_n) et (D₁, s₁), ..., (D_n, s_n) :

${\displaystyle \rho _{0}={\frac {C_{1}.r_{1}+...+C_{n}.r_{n}}{C}}}$ avec ${\displaystyle C=C_{1}+...+C_{n}}$

${\displaystyle \sigma _{0}={\frac {D_{1}.r_{1}+...+D_{n}.r_{n}}{D}}}$avec ${\displaystyle D=D_{1}+...+D_{n}}$

L’équation à résoudre devient : (C , ρ₀)  =  (D , σ₀)

Le taux d’actualisation résultant de cette équation est :

${\displaystyle i_{0}=\left[{\frac {D}{C}}\right]^{1/(\sigma _{0}-\rho _{0})}-1}$

Au taux d’actualisation i=i₀, soit respectivement ρ₁ et σ₁ l’échéance moyenne des flux (C₁ , r₁), ..., (C_n , r_n) et (D₁ , s₁), ..., (D_n , s_n) :

${\displaystyle \rho _{1}={\frac {1}{\ln v_{0}}}\ln {\frac {C_{1}.v_{0}^{r_{1}}+...+C_{n}.v_{0}^{r_{n}}}{C}}}$

${\displaystyle \sigma _{1}={\frac {1}{\ln v_{0}}}\ln {\frac {D_{1}.v_{0}^{r_{1}}+...+D_{n}.v_{0}^{r_{n}}}{D}}}$*

L’équation à résoudre devient : (C , ρ₁)  =  (D , σ₁)

Le taux d’actualisation résultant de cette équation est :

${\displaystyle i_{1}=\left[{\frac {D}{C}}\right]^{1/(\sigma _{1}-\rho _{1})}-1}$

et ainsi de suite. Si la suite {i₀, i₁, … } converge, alors la limite est solution de l’équation à résoudre, donc un TRI.

Remarque. Le premier itéré de l’algorithme de Jaumain fournit une valeur de départ qui peut s’avérer très utile aux autres méthodes.

Soit à résoudre l’équation :

${\displaystyle \Sigma _{k}C_{k}.v^{r_{k}}=\Sigma _{k}D_{k}.v^{s_{k}}}$

où v est l’inconnue. On la remplace par le système :

${\displaystyle \Sigma _{k}C_{k}.v^{r_{k}}=C.v^{\rho }}$(A)

${\displaystyle \Sigma _{k}D_{k}.v^{s_{k}}=D.v^{\sigma }}$(B)

${\displaystyle C.v^{\rho }=D.v^{\sigma }}$(C)

où ρ et σ sont des inconnues auxiliaires, et où on a posé Σ_k C_k = C et Σ_k D_k = D.

Procédant par approximations successives, supposons qu’on ait déterminé les approximations ρ_h, σ_h et v_h de ρ, σ et v respectivement. Les approximations ρ_h+1, σ_h+1 et v_h+1 résultent alors des équations suivantes, par définition même de la méthode :

pour ρ_h+1 : ${\displaystyle \Sigma _{k}C_{k}.v_{h}^{r_{k}}=C.v_{h}^{\rho _{h+1}}}$(A')

pour σ_h+1 :${\displaystyle \Sigma _{k}D_{k}.v_{h}^{s_{k}}=D.v_{h}^{\sigma _{h+1}}}$(B')

puis pour v_h+1 :${\displaystyle C.(v_{h+1})^{\rho _{h+1}}=D.(v_{h+1})^{\sigma _{h+1}}}$(C')

Supposons maintenant que ρ_h → ρ, σ_h → σ et v_h → v, où ρ, σ et v sont des quantités finies. Alors ρ, σ et v sont bien solutions de (A), (B) et (C). Car il résulte des hypothèses que lim ρ_h = lim ρ_h+1 = ρ, lim σ_h = lim σ_h+1 = σ et lim v_h = lim v_h+1 = v, et il suffit de faire h → ∞ dans (A’), (B’) et (C’) pour obtenir (A), (B) et (C).

Exemple 1. Reprenons l’exemple d’application de l’algorithme de Newton-Raphson :

On a : C = 1 + 5 + 4,5 = 10,5

D = 5,5 + 7 = 12,5

Calcul du premier itéré : 

ρ₀ = (1×0 + 5×1+4,5×2)/10,5 = 1,333333

σ₀ = (5,5×3 + 7×4)/12,5 = 3,560000

d’où : i₀ = (12,5/10,5)^{1/(3,560000-1,333333)} – 1 = 8,144966%

Calcul du 2^e itéré :

ρ₁ = 1,317059

σ₁ = 3,550325

d’où : i₁ = (12,5/10,5)^{1/(3,550325-1,317059)} – 1 = 8,111995%

et ainsi de suite. Le tableau suivant résume le calcul des itérés successifs :

L’algorithme converge vers le TRI de 8,12002%, atteint dès la 3^e ligne.

Remarques

1) Les suites des échéances moyennes convergent également. L’itération peut être arrêtée lorsque l’écart entre deux échéances moyennes successives est suffisamment petite, par exemple 1/1.000^e d’année. 

2) Le premier itéré de l’algorithme des échéances moyennes fournit une excellente valeur de départ pour les autres méthodes. Ainsi, en adoptant i₀ = 8,144966% dans l’algorithme de Newton-Raphson, on obtient le tableau suivant :

Le TRI de 8,12002% est atteint dès la 3^e ligne.

Exemple 2

Le TRI est unique. On obtient le tableau des itérés successifs suivant :

Exemple 3

A priori, il y a 3 ou 1 TRI. Un rapide examen graphique permet de conclure qu’il n’existe qu’un seul TRI. On obtient le tableau des itérés successifs suivant :

La réglementation européenne (Directive européenne du 22 février 1990) prévoit l’introduction d’un taux annualisé effectif global (TAEG) qui doit, en principe, servir d’instrument de comparaison pour toutes les formes de crédit à la consommation dans tous les Etats membres. Cette directive a été transposée dans la  législation belge (loi du 6 juillet 1992, arrêté royal du 4 août 1992, M.B. 08.09.1992). En annexe à l’arrêté royal précité figure une méthode de calcul reprenant, sans en citer la source, l’algorithme des échéances moyennes tel que présenté ci-avant. Un communiqué du Moniteur Belge du 28.09.1993 précise que « La méthode de calcul donnée à l’annexe 1 de l’arrêté royal est due au professeur Christian Jaumain, de l’Université catholique de Louvain. Elle est décrite dans le Bulletin de l’Association des Actuaires suisses, Vol.79 – n°2, 1979 ».

Contrairement à ce que pourrait laisser supposer son appellation, le TRI ne reflète pas nécessairement le rendement effectif. L’appellation « taux actuariel » est sans doute préférable, car elle rend mieux compte du caractère ambigu de ce taux.

Démonstration de la relation :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}A_{k}\sum _{k=0}^{n-1}A_{k}B_{k}C_{k}-\sum _{k=0}^{n-1}A_{k}B_{k}\sum _{k=0}^{n-1}A_{k}C_{k}=\sum _{h=0}^{n-2}\sum _{l=1,l>h}^{n-1}A_{h}A_{l}(B_{h}-B_{l})(C_{h}-C_{l})}$

Le premier membre peut s'écrire :

${\displaystyle \sum _{h=0}^{n-1}A_{h}\sum _{l=0}^{n-1}A_{l}B_{l}C_{l}-\sum _{h=0}^{n-1}A_{h}B_{h}\sum _{l=0}^{n-1}A_{l}C_{l}}$

${\displaystyle =(\sum _{h=0}^{n-1}\sum _{l=0,l>h}^{n-1}+\sum _{h=0}^{n-1}\sum _{l=0,l<h}^{n-1})(A_{h}A_{l}B_{l}C_{l}-A_{h}B_{h}A_{l}C_{l})}$

${\displaystyle =(\sum _{h=0}^{n-1}\sum _{l=0,l>h}^{n-1}+\sum _{h=0}^{n-1}\sum _{l=0,l<h}^{n-1})(A_{h}A_{l}B_{l}C_{l}-A_{h}B_{h}A_{l}C_{l}+A_{l}A_{h}B_{h}C_{h}-A_{l}B_{l}A_{h}C_{h})}$

${\displaystyle =\sum _{h=0}^{n-2}\sum _{l=1,l>h}^{n-1}A_{h}A_{l}(B_{l}C_{l}-B_{h}C_{l}+B_{h}C_{h}-B_{l}C_{h})}$

d'où la relation annoncée.

• Méthode de Newton
• Taux de rentabilité interne
• Valeur actuelle nette
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• Forme indéterminée
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