Constante de Khintchine

En théorie des nombres, la constante de Khintchine est la limite, pour presque tout nombre irrationnel, de la moyenne géométrique des premiers coefficients du développement en fraction continue de ce nombre. C'est un résultat démontré par Alexandre Khintchine[1].

Graphe des suites associées à quelques constantes (rouge :

π

, bleu :

γ

, vert : ³√2), qui semblent tendre vers cette constante.

On a donc, pour presque tout $x=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+\dots }}}}}}\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ :

\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{1/n}=K

.

Parmi les irrationnels qui n'ont pas cette propriété se trouvent par exemple la racine carrée de 2, celle de 3, le nombre d'or[N 1] et le nombre $e$ [N 2].

Parmi les irrationnels qui semblent avoir cette propriété (d'après des études numériques), figurent les nombres $π$ , $γ$ , et la constante de Khintchine elle-même^{[réf. nécessaire]} (si tant est que ces deux dernières soient irrationnelles, ce qu'on ignore). Néanmoins, ces énoncés ne sont pas démontrés. On ne sait pas si K est rationnel, algébrique, ou transcendant.

La constante $K$ possède l’expression sous forme de produit infini : $K=\prod _{k=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over k(k+2)}\right)}^{\log _{2}k}$ [1], et a pour développement décimal : $K=2{,}6854520010\dots$ [2].

Idée de la démonstration

La preuve qui suit est de Czesław Ryll-Nardzewski (en)[3] et est bien plus simple que la preuve originale de Khintchine qui n'utilisait pas la théorie ergodique.

Remarquant que le coefficient a₀ de la fraction continue de $x$ ne joue pas de rôle, et que les nombres rationnels sont de mesure nulle, on se ramène à montrer la propriété sur $I=[0,1]\setminus \mathbb {Q}$ . Soit $T:I \to I$ définie par

T([a_{1},a_{2},\dots ])=[a_{2},a_{3},\dots ]

.

La transformation $T$ est un opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing. Pour tout borélien E de $I$ , on définit de plus une mesure de Gauss-Kuzmin sur E

\mu (E)={\frac {1}{\ln 2}}\int _{E}{\frac {\mathrm {d} x}{1+x}}

.

Alors μ est une mesure de probabilité sur la tribu borélienne de $I$ . La mesure μ est équivalente à la mesure de Lebesgue sur $I$ , mais $T$ préserve la mesure μ. De plus, on peut montrer que $T$ est une transformation ergodique de l'espace mesurable $I$ muni de la mesure de probabilité μ (c'est la partie difficile). Le théorème ergodique implique alors que pour toute fonction μ-intégrable f sur $I$ , la valeur moyenne de $f\left(T^{k}x\right)$ est la même pour presque tout $x\in I$ :

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}(f\circ T^{k})(x)=\int _{I}f\,\mathrm {\mu }

.

En appliquant cela à f([a₁, a₂, ...]) = ln(a₁), on obtient

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\ln(a_{k})=\int _{I}f\,\mathrm {d} \mu =\sum _{k=1}^{\infty }\ln(k){\frac {\ln {\bigl (}1+{\frac {1}{k(k+2)}}{\bigr )}}{\ln 2}}

pour presque tout [a₁, a₂, ...] dans $I$ , ce qui conclut.

Autres expressions

La constante de Khintchine peut être exprimée sous la forme[4]

\ln K={\frac {1}{\ln 2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}

,

ou encore

\ln K={\frac {1}{\ln 2}}\left[-\sum _{k=2}^{N}\ln \left({\frac {k-1}{k}}\right)\ln \left({\frac {k+1}{k}}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n,N+1)}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\right]

où $N$ est un entier, et ζ(s, n) la fonction zêta de Hurwitz complexe. Une expression de la constante en fonction du dilogarithme :

\ln K=\ln 2+{\frac {1}{\ln 2}}\left[{\mbox{Li}}_{2}\left({\frac {-1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\mbox{Li}}_{2}\left({\frac {4}{k^{2}}}\right)\right].

Généralisation aux moyennes de Hölder

On peut généraliser le résultat précédent en remplaçant la moyenne géométrique par une moyenne de Hölder d'ordre $p$ pour tout réel non nul $p$ < 1 : pour presque tout irrationnel, la moyenne d'ordre $p$ des $n$ premiers coefficients du développement en fraction continue $\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right)^{1/p}$ tend vers une constante $K_{p}$ [4]^,[5] ayant pour valeur $\left(\sum _{k=1}^{\infty }-k^{p}\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)\right)^{1/p}$ [4]^,[5].

..

La valeur de $K=K_{0}$ est obtenue en faisant tendre $p$ vers 0.

Dans le cas $p$ = -1, la moyenne de Hölder est la moyenne harmonique, qui conduit à la constante

K_{-1}=1{,}74540566240\dots

(suite A087491 de l'OEIS).

On trouvera dans [6] les valeurs, avec leur lien dans l'OEIS, des constantes $K_{p}$ pour $p$ entier négatif.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Khinchin's constant » (voir la liste des auteurs).

Notes

En effet, pour un irrationnel quadratique, le développement en fraction continue est périodique de longueur $T\in \mathbb {N} ^{*}$ à partir d'un certain rang, et donc la moyenne géométrique de ses coefficients est égale à la moyenne géométrique des $T$ coefficients, qui, dans ces trois cas, n'est pas égale à la constante de Khintchine : $\varphi =[{\overline {1}}]$ , ${\sqrt {3}}=[1,{\overline {1,2}}]$ , ${\sqrt {2}}=[1,{\overline {2}}]$ , et $1<{\sqrt {2}}<2<K$ .
En effet, le développement en fraction continue de $e$ est $[2,{\overline {1,2k,1}}]\quad (k\in \mathbb {N} ^{*})$ donc d'après la formule de Stirling, la moyenne géométrique de ses $n$ premiers coefficients est équivalente à ${\sqrt[{3}]{\frac {2n}{3\,\mathrm {e} }}}$ , qui tend vers $+\infty$ .

Références

(en) A. Ya. Khintchin, Continued Fractions, Dover Publications, 1964, 3^e éd., 95 p. (ISBN 978-0-486-69630-0, lire en ligne), p. 93.
Suite A002210 de l'OEIS.
(en) Czesław Ryll-Nardzewski, « On the ergodic theorems II (Ergodic theory of continued fractions) », Studia Mathematica, vol. 12,‎ 1951, p. 74-79.
(en) David H. Bailey, Jonathan M. Borwein et Richard E. Crandall, « On the Khinchine constant », Math. Comp., vol. 66,‎ 1995, p. 417-431 (DOI 10.1090/s0025-5718-97-00800-4, lire en ligne). Dans cet article, une définition légèrement non standard de la fonction zêta de Hurwitz est utilisée.
(en) « Khinchin Constant », sur Mathworld
(en) « Khinchin Harmonic Mean », sur Mathworld

Voir aussi

Arithmétique et théorie des nombres

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[2] En effet, pour un irrationnel quadratique, le développement en fraction continue est périodique de longueur $T\in \mathbb {N} ^{*}$ à partir d'un certain rang, et donc la moyenne géométrique de ses coefficients est égale à la moyenne géométrique des $T$ coefficients, qui, dans ces trois cas, n'est pas égale à la constante de Khintchine : $\varphi =[{\overline {1}}]$ , ${\sqrt {3}}=[1,{\overline {1,2}}]$ , ${\sqrt {2}}=[1,{\overline {2}}]$ , et $1<{\sqrt {2}}<2<K$ .

[3] En effet, le développement en fraction continue de $e$ est $[2,{\overline {1,2k,1}}]\quad (k\in \mathbb {N} ^{*})$ donc d'après la formule de Stirling, la moyenne géométrique de ses $n$ premiers coefficients est équivalente à ${\sqrt[{3}]{\frac {2n}{3\,\mathrm {e} }}}$ , qui tend vers $+\infty$ .

[:0-1] (en) A. Ya. Khintchin, Continued Fractions, Dover Publications, 1964, 3^e éd., 95 p. (ISBN 978-0-486-69630-0, lire en ligne), p. 93.

[4] Suite A002210 de l'OEIS.

[5] (en) Czesław Ryll-Nardzewski, « On the ergodic theorems II (Ergodic theory of continued fractions) », Studia Mathematica, vol. 12,‎ 1951, p. 74-79.

[:1-6] (en) David H. Bailey, Jonathan M. Borwein et Richard E. Crandall, « On the Khinchine constant », Math. Comp., vol. 66,‎ 1995, p. 417-431 (DOI 10.1090/s0025-5718-97-00800-4, lire en ligne). Dans cet article, une définition légèrement non standard de la fonction zêta de Hurwitz est utilisée.

[:2-7] (en) « Khinchin Constant », sur Mathworld

[8] (en) « Khinchin Harmonic Mean », sur Mathworld