Moyenne harmonique

Dans certains cas, la moyenne harmonique donne la véritable notion de « moyenne ». Par exemple, si pour la moitié de la distance d'un trajet vous voyagez à 40 kilomètres par heure, et que pour l'autre moitié vous voyagez à 60 kilomètres par heure, votre vitesse moyenne est alors donnée par la moyenne harmonique de 40 km/h et 60 km/h, ce qui donne 48 km/h. Votre temps de voyage total est donc le même que si vous aviez voyagé à 48 kilomètres par heure sur l'ensemble de la distance (attention toutefois, si vous aviez voyagé la moitié du temps à une vitesse, et l'autre moitié du temps (et non de la distance) à une autre vitesse, la moyenne arithmétique, dans ce cas 50 kilomètres par heure, vous aurait donné la bonne moyenne).

De même, si un circuit électrique a deux résistances reliées en parallèle, la première faisant 40 Ω et l'autre 60 Ω, la résistance moyenne des deux est 48 Ω ; la résistance totale du circuit est la même que si les deux résistances en parallèle étaient remplacées par deux résistances de 48 Ω (attention, cette résistance moyenne n'est pas la résistance équivalente qui est, elle, de 24 Ω, et qui correspond à remplacer les deux résistances en parallèle par une seule résistance de 24 Ω).

A: moyenne arithmétique des scalaires a et b, G moyenne géométrique, H harmonique, Q quadratique.

Si l'on s'intéresse uniquement à deux nombres strictement positifs, il existe une formule équivalente parfois plus pratique pour calculer la moyenne harmonique :

${\displaystyle H={\frac {2a_{1}a_{2}}{a_{1}+a_{2}}}\cdot }$

Dans ce cas, leur moyenne harmonique est reliée à leur moyenne arithmétique,

${\displaystyle A={\frac {a_{1}+a_{2}}{2}},}$

et leur moyenne géométrique,

${\displaystyle G={\sqrt {a_{1}a_{2}}},}$

par la formule suivante :

${\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}\cdot }$

d'où

${\displaystyle G={\sqrt {AH}}}$, c.-à-d. la moyenne géométrique est la racine carrée de la moyenne arithmétique multipliée par la moyenne harmonique.

Ce résultat n'est valable qu'avec deux nombres strictement positifs.

• en dimensionnement mécanique, pour calculer le rayon équivalent, de rayons de courbure, lors du contact entre deux sphères ou deux cylindres, d'après la loi de Hertz-Boussinesq (voir aussi « Contact de Hertz ») ;
• en apprentissage automatique, la F-mesure ${\displaystyle F_{1}}$ associée à un modèle d'apprentissage est la moyenne harmonique de ses précision et rappel.
• en finance, pour le calcul d'un multiple de valorisation moyen d'un portefeuille de titres (ex : calcul du ratio PE moyen d'un portefeuille d'actions)

• Moyenne géométrique : basée sur la moyenne arithmétique des logarithmes.
• Moyenne quadratique : basée sur la moyenne arithmétique des carrés.

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