Équivalent
En analyse mathématique, l'équivalence relie deux fonctions ou deux suites qui ont le même comportement au voisinage d'un point ou de l'infini.
Pour les articles homonymes, voir équivalence.
Cette notion intervient dans le calcul des développements asymptotiques, dont les développements limités sont des cas particuliers. Les opérations sur les équivalents sont un outil de calcul.
L'équivalence pour les suites
Définitions
Soient et deux suites à valeurs réelles ou complexes.
On dit que est équivalente à , et on note , si la suite est négligeable devant la suite .
En utilisant la notation petit « o », ceci s'écrit : , et se traduit par l'existence d'une suite qui tend vers zéro et vérifie à partir d'un certain rang.
Exemples
- Un équivalent de la somme partielle d'ordre de la série harmonique est
- Un équivalent célèbre est donné par la formule de Stirling :
- Soit π la suite dont le n-ième terme est égal au nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à n. Le théorème des nombres premiers affirme que
Propriétés
- Dans le cas particulier où la suite ne s'annule pas à partir d'un certain rang, on a :
- En particulier si est une constante non nulle :
- converge vers si et seulement si elle est équivalente à la suite constante égale à .
- La relation « être équivalente à » est une relation d'équivalence sur l'ensemble des suites à valeurs réelles (resp. complexes) qui sont non nulles à partir d'un certain rang.
L'équivalence pour les fonctions
Définition
Soient f et g deux fonctions, définies sur une partie A de ℝ, et à valeurs dans K = ℝ ou ℂ, et soit a un point adhérent à A (a peut être un réel ou +∞ ou –∞).
On dit que f est équivalente à g en a, et on note (ou simplement lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur le point a que l'on considère) s'il existe une fonction définie sur un voisinage V de a telle que :
Exemple
Un équivalent en ±∞ d'une fonction polynomiale est son monôme de plus haut degré.
Propriétés
- Dans le cas particulier où g est non nulle au voisinage de a, on a :
- En particulier, si est un élément non nul de K :
- La relation est une relation d'équivalence.
- Si f et g sont à valeurs réelles et si elles sont équivalentes en a, alors
- elles ont même signe « localement autour de a », c'est-à-dire sur un certain voisinage de a,
- si avec alors .
- En général (voir l'article Opérations sur les équivalents), les opérations de multiplication par une autre fonction ou un scalaire, d'inversion, de division sont compatibles avec la relation « être équivalent à ». Cependant, l'addition et la composition posent des problèmes.
Remarques
- On peut généraliser cette définition en considérant des fonctions :
- définies sur une partie A d'un espace topologique autre que ℝ ;
- à valeurs dans un espace vectoriel normé sur K, ou même dans un espace vectoriel topologique sur un corps valué K autre que ℝ ou ℂ.
- La notion d'équivalence de suites est un cas particulier de celle d'équivalence de fonctions.