Moyenne généralisée
En mathématiques, les moyennes généralisées sont une famille de fonctions permettant de caractériser un ensemble de nombres, comptant parmi elles les cas particuliers des moyennes arithmétique, géométrique et harmonique. On peut également parler de moyenne puissance, de moyenne d'ordre p ou de moyenne de Hölder, d'après Otto Hölder.
Définitions
Moyenne d'ordre p
Soit p un nombre réel non nul. On définit la moyenne d'ordre p des réels positifs x1, ... , xn comme :
Pour p = 0, on la pose comme étant la moyenne géométrique (ce qui correspond au cas limite des moyennes d'ordres approchant de 0) :
- .
Les exposants infinis positif et négatif correspondent respectivement au maximum et au minimum, dans les cas classique et pondéré (ce qui correspond également au cas limite des moyennes d'ordres approchant de l'infini) :
Versions pondérées
On peut également définir les moyennes pondérées d'ordre p pour une suite de poids positifs wi vérifiant avec
Le cas classique correspond à l'équirépartition des poids : wi = 1/n.
Propriétés élémentaires et remarques
- On remarquera la similarité avec les normes d'ordre p.
- Comme la plupart des moyennes, la moyenne généralisée est une fonction homogène en x1, ... , xn. Ainsi, si b est un réel positif, la moyenne généralisée d'ordre p des nombres bx1, ... , bxn est égale à b multiplié par la moyenne généralisée des x1, ... , xn.
- Comme les moyennes quasi-arithmétiques, le calcul de la moyenne peut être séparé en sous-blocs de même taille.
- .
Cas particuliers
minimum | |
moyenne harmonique | |
moyenne géométrique | |
moyenne arithmétique | |
moyenne quadratique | |
maximum |
Inégalité des moyennes généralisées
Énoncé
En général, on a
si p < q, alors
et il y a égalité si et seulement si x1 = x2 = ... = xn.
L'inégalité est vraie pour les valeurs réelles de p et q, ainsi que pour les infinis positif et négatif.
On en déduit que pour tout réel p,
ce qui peut être montré en utilisant l'inégalité de Jensen.
En particulier, pour p dans {−1, 0, 1}, l'inégalité des moyennes généralisées implique une inégalité sur les moyennes pythagoriciennes (en) ainsi que l'inégalité arithmético-géométrique.
Preuve
On travaillera ici sur les moyennes généralisées pondérées, et on supposera :
La preuve sur les moyennes généralisées s'obtiendra en prenant wi = 1/n.
Équivalence des inégalités entre les moyennes de signes opposés
Supposons qu'une inégalité entre les moyennes généralisées d'ordre p et q est vraie :
Alors en particulier :
On prend l'inverse des nombres, ce qui change le sens de l'inégalité car les xi sont positifs :
ce qui donne le résultat pour les moyennes généralisées d'ordre −p et −q. On peut faire le calcul réciproque, montrant ainsi l'équivalence des inégalités, ce qui sera utile par la suite.
Moyenne géométrique
Pour tout q > 0, on a
Inégalité entre deux moyennes pondérées
Il reste à prouver que si p < q, alors on a :
Si p est négatif et q positif, on peut utiliser le résultat précédent :
Supposons maintenant p et q positifs. On définit la fonction f : R+ → R+ . f est une fonction puissance, deux fois dérivable :
qui est positive sur le domaine de définition de f, car q > p, ainsi f est convexe.
Par l'inégalité de Jensen, on a :
soit:
ce qui, une fois élevé à la puissance 1/q (fonction croissante, car 1/q est positif), on obtient le résultat voulu.
Le cas de p et q négatifs se tire de ce résultat, en les remplaçant respectivement par −q et −p.
Moyenne quasi-arithmétique
La moyenne généralisée peut être vue comme un cas particulier des moyennes quasi-arithmétiques :
Par exemple, la moyenne géométrique s'obtient par f(x)=log(x), et la moyenne d'ordre p avec f(x)=xp.
Applications
En traitement du signal
Une moyenne généralisée sert de moyenne glissante non linéaire qui fait ressortir les petites valeurs pour p petit et amplifie les grandes valeurs pour p grand.
Voir aussi
- Moyenne arithmétique
- Moyenne arithmético-géométrique
- Moyenne géométrique
- Moyenne harmonique
- Moyenne de Héron (en)
- Inégalité arithmético-géométrique
- Moyenne de Lehmer (en), une autre moyenne faisant intervenir des puissances
- Moyenne quadratique
- Maximum régularisé
- Moyenne quasi-arithmétique
Liens externes
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Generalized mean » (voir la liste des auteurs).
- (en) Eric W. Weisstein, « Power mean », sur MathWorld
- Examples of Generalized Mean
- A proof of the Generalized Mean on PlanetMath
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