Définition

On dit qu'un sous-groupe K d'un groupe fini G est un sous-groupe de Hall de G si l’ordre de K est premier avec l’indice de K dans G.

Théorème de Schur-Zassenhaus

Soient G un groupe fini et K un sous-groupe de Hall normal de G.

(a) K admet un complément dans G.

(b) Si, de plus, un au moins des deux groupes K, G/K est résoluble, tous les compléments de K dans G sont conjugués dans G.

Démonstration

Notons d’abord deux faits qui nous permettront de raisonner par récurrence sur l’ordre de G.

(1) Pour tout sous-groupe U de G, U∩K est un sous-groupe de Hall normal de U.

(5) Pour tout sous-groupe normal N de G, KN/N est un sous-groupe de Hall normal de G/N.

Un autre lemme sera utilisé deux fois : soient Z un sous-groupe de G et X, Y deux sous-groupes de Z.

(8) Si X et Y sont complémentaires dans Z et si K∩Z ⊂ Y ⊂ K et G = KZ alors X est un complément de K dans G.

Prouvons l'énoncé (a) par récurrence sur |G|.

Si K = 1, K admet G pour complément, donc la thèse est vraie dans ce cas. Nous pouvons donc supposer 1 < K, où < est la notation pour « sous-groupe propre ». Choisissons un facteur premier p de |K| et un p-sous-groupe de Sylow P de K. Alors

(9) 1 < P.

Supposons tout d’abord que P n’est pas normal dans G, autrement dit que son normalisateur n’est pas G tout entier :

(10) N_G(P) < G.

En faisant U = N_G(P) dans (1), nous trouvons que K∩N_G(P) est un sous-groupe de Hall normal de N_G(P).

De ceci, de (10) et de l'hypothèse de récurrence, il résulte que K∩N_G(P) admet un complément H dans N_G(P).

Alors

H est un complément de K dans G.

Donc l'énoncé (a) est vrai dans notre hypothèse N_G(P) < G.

Supposons maintenant que N_G(P) = G, autrement dit que P est normal dans G. Puisque le centre Z(P) de P est caractéristique dans P et que nous supposons P normal dans G, Z(P) est normal dans G.

De plus, puisque P est un p-groupe fini, non trivial d’après (9), son centre est non trivial donc

(11) |G/Z(P)| < |G|.

En faisant N = Z(P) dans (5), nous trouvons que K/Z(P) est un sous-groupe de Hall normal de G/Z(P). Compte tenu de ceci, de (11) et de l'hypothèse de récurrence, K/Z(P) admet un complément dans G/Z(P).

Il existe donc un sous-groupe V de G contenant Z(P) tel que V/Z(P) soit un complément de K/Z(P) dans G/Z(P).

On en tire facilement que

(12) G = KV

et

(13) K∩V = Z(P).

D'après (1) (où l’on fait U = V), K∩V est un sous-groupe de Hall normal de V. D'après (13), cela revient à dire que

(14) Z(P) est un sous-groupe de Hall normal de V.

Supposons tout d’abord V < G.

Alors, d’après (14) et l'hypothèse de récurrence,

Z(P) admet un complément dans V.

Un tel complément W est un complément de K dans G.

Donc l'énoncé (a) est vrai dans notre hypothèse V < G.

Si maintenant V = G, la relation (13) donne K = Z(P), donc K est commutatif. D'après la forme faible du théorème de Schur-Zassenhaus, K admet un complément dans G, ce qui achève la démonstration du point (a) de l'énoncé.

Démontrons maintenant le point (b) de l'énoncé, toujours par récurrence sur l’ordre de G.

Soient ${\displaystyle \ H_{1}}$ et ${\displaystyle \ H_{2}}$ deux compléments de G. Il s'agit de prouver que ${\displaystyle \ H_{1}}$ et ${\displaystyle \ H_{2}}$ sont conjugués dans G.

Si K = 1, alors ${\displaystyle \ H_{1}=H_{2}=G}$ et la thèse est vraie dans ce cas. Nous pouvons donc supposer 1 < K. Alors, puisque K est un sous-groupe normal de G et que G est fini, nous pouvons choisir un sous-groupe normal minimal de G contenu dans K soit N.

Pour tout élément x de G et tout sous-groupe L de G, désignons par ${\displaystyle \ {\bar {x}}}$ (resp. ${\displaystyle \ {\bar {L}}}$) l'image xN de x (resp. l'image LN/N de L) par l'homomorphisme canonique ${\displaystyle G\rightarrow G/N.}$

(15) Les sous-groupes ${\displaystyle {\bar {H_{1}}}}$ et ${\displaystyle {\bar {H_{2}}}}$ sont des compléments de ${\displaystyle {\bar {K}}}$ dans G.

Par définition d'un sous-groupe normal minimal, 1 < N, donc

${\displaystyle (16)\qquad \vert {\bar {G}}\vert =\vert G/N\vert <\vert G\vert .}$

De plus, d’après (5),

${\displaystyle \ (17){\bar {K}}}$ est un sous-groupe de Hall normal de ${\displaystyle {\bar {G}}.}$

D'après (15), (16), (17) et l'hypothèse de récurrence,

${\displaystyle \ {\bar {H_{1}}}}$ et ${\displaystyle \ {\bar {H_{2}}}}$ sont conjugués dans ${\displaystyle {\bar {G}}.}$

Il existe donc ${\displaystyle g\in G}$ tel que

${\displaystyle \qquad {\bar {H_{2}}}={\bar {g}}^{-1}{\bar {H_{1}}}{\bar {g}},}$

d'où on tire facilement

${\displaystyle (18)\qquad H_{2}N=H_{1}^{g},}$

où ${\displaystyle H_{1}^{g}}$ désigne ${\displaystyle \ g^{-1}H_{1}g.}$

Puisque ${\displaystyle N\leq K,}$ les hypothèses ${\displaystyle H_{1}\cap K=1}$ et ${\displaystyle H_{2}\cap K=1}$ donnent ${\displaystyle H_{2}\cap N=1}$ et ${\displaystyle H_{1}\cap N=1}$, d'où, puisque N est normal dans G, ${\displaystyle H_{1}^{g}\cap N=1.}$

Il résulte donc de (18) que

${\displaystyle \ (19)H_{1}^{g}}$ et ${\displaystyle \ H_{2}}$ sont des compléments de ${\displaystyle \ N}$ dans ${\displaystyle \ H_{2}N.}$

${\displaystyle \ (20)}$ Les ordres ${\displaystyle \ \vert N\vert }$ et ${\displaystyle \vert H_{2}N/N\vert }$ sont premiers entre eux.

De plus,

(21) un au moins des deux groupes ${\displaystyle \ N}$ et ${\displaystyle \ H_{2}N/N}$ est résoluble.

Supposons d’abord N < K.

Alors ${\displaystyle \ H_{2}N<G.}$

Donc, compte tenu de (19), (20), (21) et de l'hypothèse de récurrence, ${\displaystyle \ H_{1}^{g}}$ et ${\displaystyle \ H_{2}}$ sont conjugués dans ${\displaystyle \ H_{2}N,}$ donc ${\displaystyle H_{1}}$ et ${\displaystyle H_{2}}$ sont conjugués dans G, donc la partie (b) de l'énoncé est vraie dans notre hypothèse N < K.

Nous pouvons donc supposer

${\displaystyle \qquad N=K.}$

Autrement dit, K est un sous-groupe normal minimal de G et est donc caractéristiquement simple.

Supposons tout d’abord que K est résoluble. Alors, comme tout groupe résoluble et caractéristiquement simple, K est commutatif. Dès lors, il résulte de la forme faible du théorème de Schur-Zassenhaus que H₁ et H₂ sont conjugués dans G, donc la partie (b) de l'énoncé est vraie dans l'hypothèse où K est résoluble.

Nous pouvons donc supposer K non résoluble. Alors, d’après les hypothèses du point (b) de l'énoncé,

(22) G/K est résoluble.

Si K = G, alors H₁ = H₁ et la thèse est vraie. Nous pouvons donc suppose K < G, donc G/K > 1.

Alors, puisque G/K est résoluble et fini,

(23) G/K admet un sous-groupe normal d'indice p premier.

Il existe donc un sous-groupe normal A de G contenant K tel que ${\displaystyle \vert (G/K)/(A/K)\vert =p,}$ autrement dit

${\displaystyle \ (24)\vert G/A\vert =p.}$

D'après l’identité de Dedekind,

${\displaystyle \ (25)H_{1}\cap A}$ et ${\displaystyle H_{2}\cap A}$ sont des compléments de K dans A.

D'après (24),

${\displaystyle (26)\qquad \vert A\vert <\vert G\vert .}$

D'autre part, ${\displaystyle \vert A/K\vert }$ divise ${\displaystyle \vert G/K\vert }$, donc

${\displaystyle (27)\qquad \vert K\vert }$ et ${\displaystyle <\vert A/K\vert }$ sont premiers entre eux.

Enfin, puisque, d’après (22), G/K est résoluble, son sous-groupe

(28) A/K est résoluble.

Des relations (25) à (28) et de l'hypothèse de récurrence, il résulte que ${\displaystyle H_{1}\cap A}$ et ${\displaystyle H_{2}\cap A}$ sont conjugués dans A.

Il existe donc ${\displaystyle a\in A}$ tel que

${\displaystyle \qquad H_{2}\cap A=a^{-1}(H_{1}\cap A)a}$

${\displaystyle (29)\qquad H_{2}\cap A=(a^{-1}H_{1}a)\cap A.}$

Si nous en tirons que ${\displaystyle \ a^{-1}H_{1}a}$ et ${\displaystyle \ H_{2}}$ sont conjugués dans G, il en résultera évidemment que ${\displaystyle \ H_{1}}$ et ${\displaystyle \ H_{2}}$ sont conjugués dans G. D'autre part, puisque ${\displaystyle \ H_{1}}$ est un complément de K dans G et que K est normal dans G, ${\displaystyle \ a^{-1}Ha}$ est un complément de K dans G. Ces remarques montrent qu'au lieu de (29), nous pouvons supposer

${\displaystyle \qquad H_{1}\cap A=H_{2}\cap A.}$

Posons ${\displaystyle D=H_{1}\cap A=H_{2}\cap A.}$ Puisque A est normal dans G, D est normal dans H₁ et dans H₂.

De ${\displaystyle \ G=KH_{1}}$ résulte (puisque ${\displaystyle K\leq A}$) ${\displaystyle \ G=AH_{1},}$ donc

${\displaystyle \qquad G/A\cong H_{1}/A\cap H_{1},}$ c'est-à-dire

${\displaystyle (30)\qquad G/A\cong H_{1}/D.}$

De même,

${\displaystyle (31)\qquad G/A\cong H_{2}/D.}$

Choisissons un p-sous-groupe de Sylow P₁ de H₁ et un p-sous-groupe de Sylow P₂ de H₂. Alors

${\displaystyle (32)\qquad H_{1}=DP_{1}}$

et

${\displaystyle (33)\qquad H_{2}=DP_{2}.}$

D'après (23), ${\displaystyle \vert G/K\vert }$ est divisible par p. Puisque, par hypothèse, ${\displaystyle \vert K\vert }$ est premier avec ${\displaystyle \vert G/K\vert ,}$ ${\displaystyle \vert K\vert }$ n’est pas divisible par p, autrement dit ${\displaystyle \vert G:H_{1}\vert }$ n’est pas divisible par p, donc

${\displaystyle (36)\qquad \vert N_{G}(D):H_{1}\vert }$ n’est pas divisible par p.

D'autre part, puisque ${\displaystyle \ P_{1}}$ est un sous-groupe de Sylow de ${\displaystyle \ H_{1},}$

${\displaystyle (37)\qquad \vert H_{1}:P_{1}\vert }$ n’est pas divisible par p.

Il résulte de (36) et (37) que ${\displaystyle \ P_{1}}$ est un p-sous-groupe de Sylow de ${\displaystyle \ N_{G}(D).}$ De même, ${\displaystyle \ P_{2}}$ est un p-sous-groupe de Sylow de ${\displaystyle \ N_{G}(D),}$ donc ${\displaystyle \ P_{1}}$ et ${\displaystyle \ P_{2}}$ sont conjugués dans ${\displaystyle \ N_{G}(D).}$

Il existe donc ${\displaystyle g\in N_{G}(D)}$ tel que

${\displaystyle \qquad P_{2}=g^{-1}P_{1}g.}$

Alors

${\displaystyle \ g^{-1}(DP_{1})g=(g^{-1}Dg)g^{-1}(P_{1})g=(g^{-1}Dg)P_{2}.}$

Puisque ${\displaystyle g\in N_{G}(D),g^{-1}Dg=D,}$ donc

${\displaystyle \ g^{-1}(DP_{1})g=DP_{2}.}$

D'après (32) et (33), ceci revient à ${\displaystyle \ g^{-1}H_{1}g=H_{2},}$ ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soient a et b deux nombres naturels non nuls premiers entre eux et d un diviseur naturel de ab. Alors d peut s'écrire d'une et une seule façon sous la forme a'b', où a' divise a et b' divise b. De plus, b' = b si et seulement si d est divisible par b.

Théorème de Philip Hall

Soit G un groupe fini résoluble d'ordre ab, où a et b sont deux nombres naturels (non nuls) premiers entre eux. Alors
(i) pour tout sous-groupe S de G dont l'ordre divise a, G admet au moins un sous-groupe d'ordre a contenant S;
(ii) deux sous-groupes d'ordre a de G sont toujours conjugués dans G, ce qui revient à dire que deux sous-groupes de Hall de même ordre de G sont toujours conjugués dans G.

Démonstration

Nous raisonnons par récurrence sur l’ordre de G. Si cet ordre est égal à 1, l'énoncé est banalement vrai. Nous supposons donc ${\displaystyle \vert G\vert >1}$. Nous pouvons alors choisir un sous-groupe normal minimal N de G. D'après le lemme ci-dessus, l’ordre de N est de la forme

(1) ${\displaystyle \vert N\vert =a'b',}$ où a' divise a et b' divise b.

Premier cas : l’ordre de N n’est pas divisible par b. Alors

(2) b' < b.

Puisque G est résoluble,

(3) le groupe G/N est résoluble.

Par définition d'un sous-groupe normal minimal, 1 < N, donc

(4) ${\displaystyle \vert G/N\vert <\vert G\vert .}$

D'autre part,

(5) ${\displaystyle \vert G/N=(a/a')(b/b'),}$ où a/a' et b/b' sont premiers entre eux.

Soit S, comme dans l'énoncé, un sous-groupe de G dont l'ordre divise a. D'après la formule du produit (ou encore le second théorème d'isomorphisme), ${\displaystyle \vert SN/N\vert }$ divise ${\displaystyle \vert S\vert }$, lequel divise a, donc

(6) ${\displaystyle \vert SN/N\vert }$ est premier avec b.

D'autre part, puisque SN/N est un sous-groupe de G/N, il résulte de (5) que ${\displaystyle \vert SN/N\vert }$ divise (a/a') (b/b'). Joint à (6), cela montre que

(7) ${\displaystyle \vert SN/N\vert }$ divise a/a'.

D'après (3) et (4), nous pouvons appliquer l'hypothèse de récurrence au groupe G/H. Il résulte donc de (5) et de (7) que SN/N est contenu dans un sous-groupe ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ d'ordre a/a' de G/H. Un tel sous-groupe est de la forme H/N, où

(8) H est un sous-groupe de G contenant SN

et tel que, d'après (1),

(9) ${\displaystyle \vert H\vert =ab',}$ où a et b' sont premiers entre eux.

D'après (2), ceci donne ${\displaystyle \vert H\vert <ab,}$ autrement dit

(10) ${\displaystyle \vert H\vert <\vert G\vert .}$

De plus, d'après (8),

(11) H contient S.

Enfin, puisque H est sous-groupe du groupe résoluble G,

(12) H est résoluble.

Compte tenu de (9), (10), (11), (12) et de l'hypothèse de récurrence, S est contenu dans un sous-groupe d'ordre a de H, qui est évidemment un sous-groupe d'ordre a de G.
Ceci démontre le point (i) de l'énoncé dans notre premier cas (${\displaystyle \vert N\vert }$ non divisible par b).

Toujours dans ce premier cas, démontrons le point (ii) de l'énoncé, à savoir que deux sous-groupes d'ordre a de G sont toujours conjugués dans G.
Soient A₁ et A₂ deux sous-groupes d'ordre a de G. Il s'agit de prouver que A₁ et A₂ sont conjugués dans G.
Puisque N est normal dans G, A₁N est un sous-groupe de G. Prouvons que

(thèse 13) ${\displaystyle \ \qquad \vert A_{1}N\vert =ab'}$

(où b' est défini comme au premier alinéa de la démonstration). D'après (7) et (1), ${\displaystyle \vert SN\vert }$ divise ab'. Puisque A₁ satisfait à des hypothèses plus fortes que les hypothèses sur S, il en résulte que

(14) ${\displaystyle \vert A_{1}N\vert }$ divise ab'.

D'autre part, puisque A₁ est un sous-groupe de A₁N, l'ordre a de A₁ divise ${\displaystyle \vert A_{1}N\vert }$; de plus, ${\displaystyle \vert N\vert }$divise ${\displaystyle \vert A_{1}N\vert }$, ce qui, d'après (1), entraîne que b' divise ${\displaystyle \vert A_{1}N\vert }$. Ainsi, a et b' divisent tous deux ${\displaystyle \vert A_{1}N\vert }$. Puisque a et b' sont premiers entre eux, ab' divise donc ${\displaystyle \vert A_{1}N\vert }$. Joint à (14), cela prouve notre thèse (13), à savoir

${\displaystyle \vert A_{1}N\vert =ab'}$.

De même,

(15) ${\displaystyle \vert A_{2}N\vert =ab'.}$

Dès lors, les sous-groupes ${\displaystyle A_{1}N/N}$ et ${\displaystyle A_{2}N/N}$ de G/N sont tous deux d'ordre ab'/(a'b') = a/a'. D'après (3), (4), (5) et l'hypothèse de récurrence, il en résulte que

A₁N/N et A₂N/N sont conjugués dans G/N.

Il existe donc un élément x de G tel que

${\displaystyle \qquad (xN)(A_{1}N/N)(xN)^{-1}=A_{2}N/N.}$

On en tire facilement (en passant aux images inverses par l'homomorphisme canonique de G sur G/N)) que

${\displaystyle \qquad xA_{1}x^{-1}N=A_{2}N.}$

Dès lors, ${\displaystyle xA_{1}x^{-1}}$ et ${\displaystyle A_{2}}$ sont deux sous-groupes d'ordre a de ${\displaystyle A_{2}N.}$
D'après (15) et (2),

${\displaystyle \vert A_{2}N\vert =ab'<ab=\vert G\vert ,}$

où a est premier avec b', donc, d'après l'hypothèse de récurrence,

${\displaystyle \ xA_{1}x^{-1}}$ et ${\displaystyle \ A_{2}}$ sont conjugués dans ${\displaystyle \ A_{2}N}$ et a fortiori dans G, ce qui entraîne que ${\displaystyle A_{1}}$ et ${\displaystyle \ A_{2}}$ sont conjugués dans G.

Le théorème est donc démontré dans le premier cas (où l’ordre de N n’est pas divisible par b).

Second cas :

(16) l’ordre de N est divisible par b.

C'est maintenant que nous allons utiliser le fait que N est un sous-groupe normal minimal de G. Puisque G est supposé résoluble, N est abélien élémentaire (voir chapitre Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux), donc

(17) ${\displaystyle \vert N\vert }$ est une puissance p^m d'un nombre premier p, avec ${\displaystyle m\geq 1.}$

Puisque, d'après (16), ${\displaystyle \vert N\vert }$ est divisible par b, il résulte de (17) que

(18) b est une puissance de p.

Si b = 1, nous avons ${\displaystyle \vert G\vert =a}$ et l'énoncé est évident. Nous pouvons donc supposer b > 1. Alors, d'après (18), b est divisible par p. Donc, puisque a est premier avec b,

(19) a est premier avec p.

Puisque ${\displaystyle \vert G\vert =ab,}$ il résulte de (18) et de (19) que

(20) b est la plus grande puissance de p qui divise ${\displaystyle \vert G\vert .}$

Puisque, d'après (17), ${\displaystyle \vert N\vert }$ est une puissance de p, il résulte de (20) que

(21) ${\displaystyle \vert N\vert =b,}$

autrement dit

${\displaystyle \vert N\vert }$ est la plus grande puissance de p qui divise ${\displaystyle G.}$

Donc, puisque N est supposé normal dans G,

(22) N est un p-sous-groupe de Sylow normal de G.

A fortiori,

(23) N est un sous-groupe de Hall normal de G,

donc, d'après le théorème de Schur-Zassenhaus,

(24) N admet un complément L dans G.

Alors ${\displaystyle \vert L\vert =\vert G\vert /\vert N\vert }$, d'où, d'après (21),

(25) ${\displaystyle \vert L\vert =a.}$

Ceci prouve que G admet un sous-groupe d'ordre a. Prouvons maintenant que G admet un sous-groupe d'ordre a contenant S.
Puisque, d'après (24), L est un complément de N dans G, nous avons LN = G. D'après l'identité de Dedekind, il en résulte que

(26) ${\displaystyle \qquad SN=(L\cap SN)N.}$

On a vu en (23) que N est un sous-groupe de Hall normal de G; il en résulte clairement que

(27) N est un sous-groupe de Hall normal de SN.

(D'après (22), c'est même un p-sous-groupe de Sylow normal de SN.)
Puisque ${\displaystyle \vert S\vert }$ divise a par hypothèse et que, d'après (21), ${\displaystyle \vert N\vert =b,}$ les ordres de S et de N sont premiers entre eux, donc ${\displaystyle S\cap N=1,}$ donc

(28) S est un complément de N dans SN.

D'autre part, l'ordre de ${\displaystyle L\cap SN}$ divise ${\displaystyle \vert L\vert }$, autrement dit, d'après (25), ${\displaystyle \vert L\cap SN\vert }$ divise a. La justification de (28) s'applique donc à ${\displaystyle L\cap SN}$ au lieu de S, donc

${\displaystyle L\cap SN}$ est un complément de N dans ${\displaystyle (L\cap SN)N.}$

D'après (26), cela revient à dire que

(29) ${\displaystyle L\cap SN}$ est un complément de N dans SN.

D'après (28) et (29), S et ${\displaystyle L\cap SN}$ sont tous deux des compléments de N dans SN; de plus, d'après (27), N est un sous-groupe de Hall normal de SN; enfin, puisque G est supposé résoluble, SN est résoluble; il résulte donc du théorème de Schur-Zassenhaus que S et ${\displaystyle L\cap SN}$ sont conjugués dans SN et a fortiori dans G.
Il existe donc un élément x de G tel que

${\displaystyle S=x(L\cap SN)x^{-1}.}$

Alors

(30) S est contenu dans ${\displaystyle xLx^{-1}.}$

Puisque, d'après (25), L est d'ordre a, ${\displaystyle xLx^{-1}}$ est lui aussi d'ordre a, donc (30) montre que S est contenu dans un sous-groupe d'ordre a de G, ce qui prouve la première partie de l'énoncé.
Puisque ${\displaystyle \vert G\vert =ab}$ avec a et b premiers entre eux et que, d'après (21), ${\displaystyle \vert N=b,}$ on prouve facilement (compte tenu que N est normal dans G) que les sous-groupes d'ordre a de G sont exactement les compléments de N dans G. Puisque G est résoluble et que, d'après (23), N est un sous-groupe de Hall normal de G, il résulte donc du théorème de Schur-Zassenhaus que tous les sous-groupes d'ordre a de G sont conjugués dans G, ce qui achève la démonstration.

Corollaire

Soit G un groupe fini résoluble d'ordre ab, où a et b sont deux nombres naturels (non nuls) premiers entre eux. Alors G admet au moins un sous-groupe d'ordre a.