Pour une transversale gauche T de Q dans G, posons

${\displaystyle V_{T}(g)=\prod _{t\in T}\mathrm {q} _{T}(gt)Q'.}$

Il s'agit de prouver que V_T est un homomorphisme de groupes et ne dépend pas de T.
Prouvons d’abord que V_T ne dépend pas de T. Soient L et H deux transversales gauches de Q dans G. Il s'agit de prouver que

${\displaystyle \ (1)V_{H}=V_{L}.}$

Pour tout ${\displaystyle l\in L,}$

${\displaystyle (2)\qquad gl=\mathrm {repr} _{L}(gl)\ \mathrm {q} _{L}(gl).}$

Pour tout ${\displaystyle h\in H,}$

${\displaystyle (3)\qquad gh=\mathrm {repr} _{H}(gh)\ \mathrm {q} _{H}(gh)}$

et

${\displaystyle (4)\qquad h=\mathrm {repr} _{L}(h)\ \mathrm {q} _{L}(h).}$

En multiplant les deux membres de (4) par g à gauche, nous trouvons

${\displaystyle (5)\qquad gh=g\ \mathrm {repr} _{L}(h)\ \mathrm {q} _{L}(h).}$

D'autre part, en remplaçant ${\displaystyle \ l}$ par ${\displaystyle \ \mathrm {repr} _{L}(h)}$ dans (2), nous trouvons

${\displaystyle \qquad g\ \mathrm {repr} _{L}(h)=\mathrm {repr} _{L}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h))\ \mathrm {q} _{L}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h)).}$

En portant ceci dans (5), nous trouvons

${\displaystyle (6)\qquad gh=\mathrm {repr} _{L}(g\mathrm {repr} _{L}(h))\ \mathrm {q} _{L}(g\mathrm {repr} _{L}(h))\ \mathrm {q} _{L}(h).}$

Puisque deux éléments de G qui appartiennent à la même classe à gauche modulo Q ont le même représentant dans L,

${\displaystyle \qquad \mathrm {repr} _{L}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h))=\mathrm {repr} _{L}(\mathrm {repr} _{H}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h))),}$

donc (6) peut s'écrire

${\displaystyle (7)\qquad gh=\mathrm {repr} _{L}(\mathrm {repr} _{H}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h)))\ \mathrm {q} _{L}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h))\ \mathrm {q} _{L}(h).}$

D'autre part, (3) peut s'écrire

${\displaystyle \qquad \mathrm {repr} _{L}(h)=h\ \mathrm {q} _{L}(h)^{-1}.}$

En remplaçant dans ceci ${\displaystyle \ h}$ par ${\displaystyle \ \mathrm {repr} _{H}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h)),}$ nous trouvons

${\displaystyle \qquad \mathrm {repr} _{L}(\mathrm {repr} _{H}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h)))=\mathrm {repr} _{H}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h))\mathrm {q} _{L}(\mathrm {repr} _{H}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h)))^{-1}.}$

En portant ceci dans (7), nous trouvons

${\displaystyle \qquad gh=\mathrm {repr} _{H}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h))\ \mathrm {q} _{L}(\mathrm {repr} _{H}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h)))^{-1}\ \mathrm {q} _{L}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h))\ \mathrm {q} _{L}(h).}$

La comparaison avec (3) donne (compte tenu de l'unicité de l’expression d'un élément de G comme produit d'un élément de la transversale gauche H et d'un élément de Q)

${\displaystyle \qquad \mathrm {q} _{H}(gh)=\mathrm {q} _{L}(\mathrm {repr} _{H}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h)))^{-1}\ \mathrm {q} _{L}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h))\ \mathrm {q} _{L}(h).}$

D'après la définition

${\displaystyle \qquad V_{H}(g)=\prod _{h\in H}\mathrm {q} _{H}(gh)Q'}$

et la commutativité de Q/Q', nous avons donc

${\displaystyle (8)\qquad V_{H}(g)=(\prod _{h\in H}\mathrm {q} _{L}(\mathrm {repr} _{H}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h)))^{-1})(\prod _{h\in H}\mathrm {q} _{L}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h)))(\prod _{h\in H}\mathrm {q} _{L}(h))Q'.}$

On vérifie facilement que l’application ${\displaystyle h\mapsto \mathrm {repr} _{H}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h))}$ est une permutation de H, donc

${\displaystyle (9)\qquad \prod _{h\in H}\mathrm {q} _{L}(\mathrm {repr} _{H}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h)))Q'=\prod _{h\in H}\mathrm {q} _{L}(h)Q'.}$

De même, l’application ${\displaystyle h\mapsto \mathrm {repr} _{L}{h}}$ est une bijection de H sur L, donc

${\displaystyle \qquad \prod _{h\in H}\mathrm {q} _{L}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h))Q'=\prod _{l\in L}\mathrm {q} _{L}(gl)Q'.}$

${\displaystyle (10)\qquad \prod _{h\in H}\mathrm {q} _{L}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h))Q'=V_{L}(G).}$

En portant (9) et (10) dans (8), nous trouvons

${\displaystyle \ V_{H}(g)=V_{L}(g),}$

ce qui est notre thèse (1). Nous avons donc prouvé l’existence d'une application V de G dans Q/Q' telle que, pour toute transversale gauche T de Q dans G,

${\displaystyle V(g)=\prod _{t\in T}\mathrm {q} _{T}(gt)Q'.}$

Prouvons que V est un homomorphisme de groupes. Choisissons une transversale gauche H de Q dans G. Donc, pour tout élément g de G,

${\displaystyle (11)\qquad V(g)=V_{H}(g)=\prod _{h\in H}\mathrm {q} _{H}(gh)Q'.}$

Rappelons que, pour tout ${\displaystyle x\in G,}$

${\displaystyle (12)\qquad x=\mathrm {repr} _{H}(x)\ \mathrm {q} _{H}(x)}$

est l'unique écriture de x comme produit ab avec a dans H et b dans Q.
Soient ${\displaystyle \ g_{1},g_{2}}$ deux éléments de G et ${\displaystyle \ h}$ un élément de H.
En faisant ${\displaystyle \ x=g_{2}h}$ dans (12), nous trouvons

${\displaystyle \qquad g_{2}h=\mathrm {repr} _{H}(g_{2}h)\ \mathrm {q} _{H}(g_{2}h),}$

d'où, en multipliant les deux membres à gauche par ${\displaystyle \ g_{1},}$

${\displaystyle (13)\qquad g_{1}g_{2}h=g_{1}\mathrm {repr} _{H}(g_{2}h)\ \mathrm {q} _{H}(g_{2}h).}$

D'autre part, en faisant ${\displaystyle \ x=g_{1}\ \mathrm {repr} _{H}(g_{2}h)}$ dans (12), nous obtenons

${\displaystyle \qquad g_{1}\mathrm {repr} _{H}(g_{2}h)=\mathrm {repr} _{H}(g_{1}\mathrm {repr} _{H}(g_{2}h))\ \mathrm {q} _{H}(g_{1}\mathrm {repr} _{H}(g_{2}h)).}$

En portant ceci dans (13), nous trouvons

${\displaystyle (14)\qquad g_{1}g_{2}h=\mathrm {repr} _{H}(g_{1}\mathrm {repr} _{H}(g_{2}h))\ \mathrm {q} _{H}(g_{1}\mathrm {repr} _{H}(g_{2}h))\ \mathrm {q} _{H}(g_{2}h).}$

D'autre part, l'égalité ${\displaystyle \ g_{2}hQ=\mathrm {repr} _{H}(g_{2}h)Q}$ entraîne

${\displaystyle \qquad g_{1}g_{2}hQ=g_{1}\ \mathrm {repr} _{H}(g_{2}h)Q,}$

donc

${\displaystyle \qquad \mathrm {repr} _{H}(g_{1}\ \mathrm {repr} _{H}(g_{2}h))=\mathrm {repr} _{H}(g_{1}g_{2}h).}$

En portant ceci dans (14), nous trouvons

${\displaystyle \qquad g_{1}g_{2}h=\mathrm {repr} _{H}(g_{1}g_{2}h)\ \mathrm {q} _{H}(g_{1}\mathrm {repr} _{H}(g_{2}h))\ \mathrm {q} _{H}(g_{2}h),}$

d'où, par comparaison avec (12) où on fait ${\displaystyle \ x=g_{1}g_{2}h,}$

${\displaystyle \qquad \mathrm {q} _{H}(g_{1}g_{2}h)=\mathrm {q} _{H}(g_{1}\mathrm {repr} _{H}(g_{2}h))\ \mathrm {q} _{H}(g_{2}h).}$

En faisant ${\displaystyle \ g=g_{1}g_{2}}$ dans (11), nous trouvons donc

${\displaystyle (15)\qquad V(g_{1}g_{2})=(\prod _{h\in H}\mathrm {q} _{H}(g_{1}\ \mathrm {repr} _{H}(g_{2}h))Q')\ (\prod _{h\in H}\mathrm {q} _{H}(g_{2}h)Q')}$

(où les produits ${\displaystyle \prod _{h\in H}}$ sont pris dans le groupe Q/Q'). On vérifie facilement que ${\displaystyle h\mapsto \mathrm {repr} _{H}(g_{2}h)}$ est une permutation de H, donc (15) peut s'écrire

${\displaystyle \qquad V(g_{1}g_{2})=(\prod _{h\in H}\mathrm {q} _{H}(g_{1}h)Q')\ (\prod _{h\in H}\mathrm {q} _{H}(g_{2}h)Q'),}$ autrement dit

${\displaystyle \qquad V(g_{1}g_{2})=V(g_{1})\ V(g_{2},}$

donc V est un homomorphisme de G dans Q/Q', comme annoncé.
Nous avons donc démontré l’existence d'un homomorphisme V tel que dans l'énoncé. L'unicité de cet homomorphisme est évidente.

Comme dans ce qui précède, nous avons, pour tout élément x de G,

${\displaystyle \qquad x=\mathrm {repr} _{T}(x)\mathrm {q} _{T}(x),}$

où ${\displaystyle \mathrm {repr} _{T}(x)}$ est le seul élément a de T et ${\displaystyle \mathrm {q} _{T}(x)}$ le seul élément b de Q tels que x = ab.
En particulier, pour tout élément g de G et tout élément t de T,

${\displaystyle (1)\qquad gt=\mathrm {repr} _{T}(gt)\mathrm {q} _{T}(gt).}$

Il est clair que si on pose

${\displaystyle \qquad \sigma _{g,T}(t)=\mathrm {repr} _{T}(gt),}$

on définit une permutation ${\displaystyle \sigma _{g,T}}$ de T. Alors (1) s'écrit

${\displaystyle \qquad gt=\sigma _{g,T}(t)\mathrm {q} _{T}(gt),}$

d'où

${\displaystyle (2)\qquad \sigma _{g,T}(t)^{-1}gt\in Q.}$

Soient ${\displaystyle \ c_{1},\ldots ,c_{m}}$ les différentes orbites du groupe ${\displaystyle <\sigma _{g,T}>}$ opérant sur T. (Il est clair que m dépend de g.) Pour tout ${\displaystyle i(1\leq i\leq m),}$ posons

${\displaystyle \qquad c_{i}=\{t_{i,1},\ldots ,t_{i,r_{i}}\},}$

où ${\displaystyle t_{i,1},\ldots ,t_{i,r_{i}}}$ sont énumérés de sorte que

pour tout j tel que ${\displaystyle 1\leq j\leq r_{i}-1}$ :

${\displaystyle (3)\qquad \sigma _{g,T}(t_{i,j})=t_{i,j+1}}$

et

${\displaystyle (4)\qquad \sigma _{g,T}(t_{i,r_{i}})=t_{i,1}.}$

(Autrement dit, quand i parcourt {1, ... , m}, les r_i- uplets ${\displaystyle \ (t_{i,1},\ldots ,t_{i,r_{i}})}$ forment la « décomposition complète » de ${\displaystyle \sigma _{g,T}}$ en produit de « cycles » à supports disjoints.)
En portant chacune des relations (3) et la relation (4) dans (2), nous trouvons

${\displaystyle \qquad t_{i,2}^{-1}gt_{i,1}\in Q,}$

${\displaystyle \qquad t_{i,3}^{-1}gt_{i,2}\in Q,}$

${\displaystyle \qquad \ldots }$

${\displaystyle \qquad t_{i,r_{i}}^{-1}gt_{i,r_{i}-1}\in Q,}$

${\displaystyle \qquad t_{i,1}^{-1}gt_{i,r_{i}}\in Q.}$

On a donc

${\displaystyle \qquad (t_{i,1}^{-1}gt_{i,r_{i}})\ (t_{i,r_{i}}^{-1}gt_{i,r_{i}-1})\ldots \ (t_{i,2}^{-1}gt_{i,1})\in Q,}$

autrement dit

${\displaystyle (5)\qquad t_{i,1}^{-1}g^{r_{i}}t_{i,1}\in Q.}$

Posons ${\displaystyle T_{g}=\{t_{1,1},\ldots ,t_{m,1}\}}$
et, pour ${\displaystyle t=t_{i,1}\in T_{g},}$ posons ${\displaystyle \ n_{t}(g)=r_{i}.}$
Alors (5) prouve la partie (1) de l'énoncé.
Puisque les orbites du groupe ${\displaystyle <\sigma >}$ opérant sur T forment une partition de T, nous avons ${\displaystyle \ r_{1}+\ldots +r_{m}=n,}$ ce qui prouve la partie 2° de l'énoncé.
Enfin,

${\displaystyle \qquad V(g)=\prod _{t\in T}\mathrm {q} _{T}(gt)Q'}$

${\displaystyle \qquad V(g)=\prod _{t\in T}\sigma _{g,T}(t)^{-1}gtQ'.}$

Puisque les orbites du groupe ${\displaystyle <\sigma >}$ opérant sur T forment une partition de T, ceci peut s'écrire

${\displaystyle \qquad V(g)=\prod _{i=1}^{m}\prod _{j=1}^{r_{i}}\sigma _{g,T}(t_{i,j})^{-1}gt_{ij}Q'}$

${\displaystyle (6)\qquad V(g)=\prod _{i=1}^{m}\prod _{j=1}^{r_{i}}t_{i,j+1}^{-1}gt_{i,j}Q'}$

(où on convient que ${\displaystyle \ t_{i,1+r_{i}}=t_{i,1}}$).
Le produit partiel

${\displaystyle \qquad \prod _{j=1}^{r_{i}}t_{i,j+1}^{-1}gt_{i,j}Q'}$

peut s'écrire

${\displaystyle \qquad (t_{i,1}^{-1}gt_{i,r_{i}})\ (t_{i,r_{i}}^{-1}gt_{i,r_{i}-1})\ldots \ (t_{i,2}^{-1}gt_{i,1})Q'=t_{i,1}^{-1}g^{r_{i}}t_{i,1}Q',}$

donc (6) peut s'écrire

${\displaystyle \qquad V(g)=\prod _{i=1}^{m}t_{i,1}^{-1}g^{r_{i}}t_{i,1}Q',}$

ce qui prouve la partie 3° de l'énoncé, qui est donc entièrement démontré.

Soient g, h deux éléments de ${\displaystyle \ C_{G}(P)}$ conjugués dans G. Il s'agit de prouver que g et h sont conjugués dans ${\displaystyle \ N_{G}(P)}$.
Puisque g et h sont conjugués dans G, il existe un élément a de G tel que

${\displaystyle (1)\qquad h=a^{-1}ga.}$

Alors

${\displaystyle (2)\qquad h\in a^{-1}C_{G}(P)a.}$

D'après un exercice de la série Conjugaison, centralisateur, normalisateur, ${\displaystyle \ a^{-1}C_{G}(P)a=C_{G}(a^{-1}Pa),}$ donc (2) peut s'écrire

${\displaystyle \qquad h\in C_{G}(a^{-1}Pa),}$

ce qui équivaut à

${\displaystyle (3)\qquad a^{-1}Pa\leq C_{G}(h).}$

D'autre part, h est supposé appartenir à ${\displaystyle C_{G}(P),}$ ce qui revient à dire que

${\displaystyle (4)\qquad P\leq C_{G}(h).}$

Soit p un nombre premier tel que P soit un p-sous-groupe de Sylow de G. Il résulte clairement de (3) et (4) que P et a^-1Pa sont deux p-sous-groupes de Sylow de C_G(H) et sont donc conjugués dans C_G(H).
Il existe donc un élément b de C_G(H) tel que

${\displaystyle \qquad ba^{-1}Pab^{-1}=P,}$

d'où

${\displaystyle (5)\qquad ba_{-1}\in N_{G}(P).}$

D'autre part, puisque ${\displaystyle b\in C_{G}(H),}$

${\displaystyle \qquad b^{-1}hb=h,}$

d'où

${\displaystyle \qquad ab^{-1}hba^{-1}=aha^{-1},}$

ce qui, d’après (1) peut s'écrire

${\displaystyle \qquad ab^{-1}hba^{-1}=g.}$

Joint à (5), ceci montre que g et h sont conjugués dans N_G(H), ce qui est notre thèse.