Nous avons noté l'opération de G sur H sous forme exponentielle, ce qui est plus agréable quand le groupe H est noté multiplicativement. Si H était noté additivement, il serait plus agréable de noter l'opération de G sur H multiplicativement.

1) L'opération d'un groupe G sur lui-même par conjugaison est une opération par automorphismes, à savoir par les automorphismes intérieurs. En effet, l'élément de ${\displaystyle \ S_{G}}$ correspondant à l'élément g de G est l'automorphisme intérieur ${\displaystyle \ x\mapsto gxg^{-1}}$ de G.

2) Plus généralement, si H est un sous-groupe distingué de G, tout automorphisme intérieur de G induit un automorphisme (non forcément intérieur) de H.
L'application qui à tout élément g de G fait correspondre l'automorphisme ${\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}$ de H est un homomorphisme de G dans Aut(H), donc une opération de G sur H par automorphismes.

3) Plus généralement, si H est un sous-groupe distingué de G et K un sous-groupe de G, l’application qui à tout élément k de K fait correspondre l'automorphisme ${\displaystyle x\mapsto kxk^{-1}}$ de H est un homomorphisme de K dans Aut(H) (restriction à K de l'homomorphisme de G dans Aut(H) considéré à l'exemple précédent), donc une opération de K sur H par automorphismes.

Soient G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. On dit que K est un complément de H (dans G) si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

${\displaystyle (1)\quad H\cap K=1,}$

${\displaystyle (2)\quad HK=G}$

Soient G un groupe, H un sous-groupe normal de G et K un sous-groupe de G. On dit que G est produit semi-direct (interne) de H par^[1] K si H et K sont complémentaires.

Soient ${\displaystyle G_{1}}$ et ${\displaystyle G_{2}}$ des groupes et f un isomorphisme de ${\displaystyle G_{1}}$ sur ${\displaystyle G_{2}}$. On suppose que ${\displaystyle G_{1}}$ est produit semi-direct interne d'un sous-groupe normal N de ${\displaystyle G_{1}}$ par un sous-groupe H de ${\displaystyle G_{1}}$. Alors ${\displaystyle G_{2}}$ est produit semi-direct interne du sous-groupe normal f(N) de ${\displaystyle G_{2}}$ par le sous-groupe f(H) de ${\displaystyle G_{2}}$.

Soient G un groupe, H un sous-groupe normal de G et K un sous-groupe de G tels que G soit produit semi-direct de H par K. Alors K est isomorphe à G/H.

Soient H et K deux groupes et ${\displaystyle \ \tau :k\mapsto \tau _{k}}$ un homomorphisme de K dans le groupe ${\displaystyle (\mathrm {Aut} (H),\circ )}$. On appelle produit semi-direct (externe) de H par K relativement à ${\displaystyle \ \tau }$ et on note ${\displaystyle H\rtimes _{\tau }K}$ (ou parfois ${\displaystyle H\times _{\tau }K}$) le produit cartésien ${\displaystyle \ H\times K}$ des ensembles sous-jacents de H et de K, muni de la loi de composition interne ${\displaystyle ((h,k),(h',k'))\mapsto (h\tau _{k}(h'),kk').}$

Si on utilise la notation exponentielle gauche pour marquer l'opération ${\displaystyle \ \tau }$ de K sur H, la loi de composition interne en question se définit par :

${\displaystyle ((h,k),(h',k'))\mapsto (h\ ^{k}h',kk').}$

Soient N et H deux groupes et ${\displaystyle \ \tau :h\mapsto \tau _{h}}$ un homomorphisme de H dans Aut(N).
Le produit semi-direct ${\displaystyle N\rtimes _{\tau }H}$ est un groupe.
L'ensemble ${\displaystyle N\times \{1\}}$ est un sous-groupe distingué de ${\displaystyle N\rtimes _{\tau }H}$ et l'injection canonique ${\displaystyle n\mapsto (n,1)}$ induit un isomorphisme de N sur ${\displaystyle N\times \{1\}}$.
L'ensemble ${\displaystyle \{1\}\times H}$ est un sous-groupe de ${\displaystyle N\rtimes _{\tau }H}$ et l'injection canonique ${\displaystyle h\mapsto (1,h)}$ induit un isomorphisme de H sur ${\displaystyle \{1\}\times H}$.
Le groupe ${\displaystyle N\rtimes _{\tau }H}$ est produit semi-direct interne de ${\displaystyle N\times \{1\}}$ par ${\displaystyle \{1\}\times H.}$
Si n est un élément de N et h un élément de H, l'image de ${\displaystyle \tau _{h}(n)}$ par l'isomorphisme ${\displaystyle N\rightarrow N\times \{1\}}$ est

${\displaystyle (\tau _{h}(n),1)=(1,h)(n,1)(1,h)^{-1}.}$

Pour alléger les expressions, nous écrirons ${\displaystyle \ \ ^{h}n}$ pour ${\displaystyle \ \tau _{h}(n)}$ (n étant un élément de N et h un élément de H).

Prouvons que la loi de composition du produit semi-direct externe est associative. Soient n, n' et n'' des éléments de N et h, h', h'' des éléments de H. Il s'agit de prouver que

${\displaystyle \ (1)\quad (\ (n,h)(n',h')\ )\ (n'',h'')=(n,h)\ (\ (n',h')(n'',h'')\ ).}$

Dans le premier membre, ${\displaystyle \ (\ (n,h)(n',h')\ )}$ est égal à ${\displaystyle \ (n\ ^{h}n',\ hh')}$, donc le premier membre de (1) égale ${\displaystyle \ (n\ ^{h}n',\ hh')\ (n'',h'')}$, c'est-à-dire ${\displaystyle (n\ ^{h}n'\ ^{hh'}n'',hh'h'').}$

Dans le second membre de (1), ${\displaystyle \ (n',h')(n'',h'')}$ est égal à ${\displaystyle \ (n'\ ^{h'}n'',h'h'')}$, donc le second membre de (1) vaut ${\displaystyle \ (n,h)\ (n'\ ^{h'}n'',h'h'')}$, c'est-à-dire ${\displaystyle \ (n\ ^{h}(n'\ ^{h'}n''),hh'h'')}$, où on peut remplacer ${\displaystyle \ ^{h}(n'\ ^{h'}n'')}$ par ${\displaystyle \ ^{h}n'\ ^{hh'}n''}$, donc (1) est vraie. Nous avons donc prouvé l'associativité.

On vérifie facilement que (1, 1) est élément neutre et que tout élément (n, h) admet ${\displaystyle \ (\ (^{h^{-1}}n)^{-1},\ h^{-1})}$ pour inverse. (Remarque : l'exponentiation à droite n'a évidemment pas le même sens que l'exponentiation à gauche.)

On laisse au lecteur le soin de vérifier que l’ensemble ${\displaystyle N\times \{1\}}$ est un sous-groupe de ${\displaystyle N\rtimes _{\tau }H}$, que l'injection canonique ${\displaystyle n\mapsto (n,1)}$ induit un isomorphisme de N sur ${\displaystyle N\times \{1\}}$, que l’ensemble ${\displaystyle \{1\}\times H}$ est un sous-groupe de ${\displaystyle N\rtimes _{\tau }H}$ et que l'injection canonique ${\displaystyle h\mapsto (1,h)}$ induit un isomorphisme de H sur ${\displaystyle \{1\}\times H}$.

Le sous-groupe ${\displaystyle N\times \{1\}}$ de ${\displaystyle N\rtimes _{\tau }H}$ est normal (car un conjugué d'un élément de ${\displaystyle \ H\times \{1\}}$ a évidemment 1 pour seconde composante).

Pour le reste de l'énoncé, on se limitera à la dernière assertion. Il s'agit de prouver que, pour tout élément n de N et tout élément h de H,

${\displaystyle \ (2)\quad (\tau _{h}(n),1)=(1,h)\ (n,1)\ (1,h)^{-1}.}$

Dans le second membre, on peut remplacer ${\displaystyle \ (1,h)\ (n,1)}$ par ${\displaystyle \ (^{h}n,h)}$ et ${\displaystyle \ (1,h)^{-1}}$ par ${\displaystyle \ (1,h^{-1})}$, donc le second membre de (2) est égal à ${\displaystyle \ (^{h}n,h)\ (1,h^{-1})=(^{h}n,1)=(\tau _{h}(n),1),}$ ce qui prouve la thèse.

La dernière assertion du théorème montre que si on identifie N × {1} à N et {1} × H à H, l'opération interne de {1} × H sur N × {1} dans ${\displaystyle N\times _{\tau }H}$ (par conjugaison) s'identifie à l'opération ${\displaystyle \ \tau }$ de H sur N.

Le produit semi-direct (interne ou externe) d'un groupe résoluble de classe p par un groupe résoluble de classe q est résoluble de classe ≤ p + q.

C'est une conséquence immédiate du théorème suivant, démontré au chapitre Groupes résolubles : soient G un groupe, H et K des sous-groupes de G tels que K normalise H (autrement dit, K est contenu dans le normalisateur de H dans G); si K est résoluble de classe p et H résoluble de classe q, alors le sous-groupe HK de G est résoluble de classe ≤ p + q.

Soient N et H deux groupes et ${\displaystyle \ \tau :k\mapsto \tau _{k}}$ un homomorphisme de H dans Aut(N). Soient L un groupe, ${\displaystyle \nu }$ un homomorphisme de N dans L et ${\displaystyle \eta }$ un homomorphisme de H dans L.
(i) Pour que l’application ${\displaystyle \ (n,h)\mapsto \nu (n)\eta (h)}$ de ${\displaystyle N\rtimes _{\tau }H}$ dans L soit un homomorphisme, il faut et il suffit que pour tout élément n de N et tout élément h de H,

${\displaystyle \ \nu (\tau _{h}(n))=\eta (h)\nu (n)\eta (h)^{-1}.}$

(ii) Si cette condition est satisfaite, si de plus ${\displaystyle \nu }$ et ${\displaystyle \eta }$ sont injectifs et que ${\displaystyle \nu (N)\cap \eta (H)=1,}$ alors l'homomorphisme

${\displaystyle (n,h)\mapsto \nu (n)\eta (h)}$

de ${\displaystyle N\rtimes _{\tau }H}$ dans L est injectif, il induit par corestriction un isomorphisme de ${\displaystyle N\rtimes _{\tau }H}$ sur le sous-groupe de L engendré par ${\displaystyle \nu (N)}$ et ${\displaystyle \eta (H)}$ et ce sous-groupe de L engendré par ${\displaystyle \nu (N)}$ et ${\displaystyle \eta (H)}$ est produit semi-direct interne de ${\displaystyle \nu (N)}$ par ${\displaystyle \eta (H)}$

Pour que l'application

${\displaystyle \psi$ :(n,h)\mapsto \nu (n)\eta (h)}

de ${\displaystyle N\rtimes _{\tau }H}$ dans L soit un homomorphisme, il faut et il suffit que, pour tous ${\displaystyle n,n'}$ dans N et tous ${\displaystyle h,h'}$ dans H,

${\displaystyle \psi ((n,h)(n',h'))=\psi (n,h)\psi (n',h')}$

autrement dit

${\displaystyle \psi ((n\tau _{h}(n'),hh'))=\nu (n)\eta (h)\nu (n')\eta (h')}$

ou encore, par définition de ${\displaystyle \psi }$,

${\displaystyle \nu (n\tau _{h}(n'))\eta (hh')=\nu (n)\eta (h)\nu (n')\eta (h').}$

Puisque ${\displaystyle \nu }$ et ${\displaystyle \eta }$ sont des homomorphismes, cela peut encore s'écrire

${\displaystyle \nu (n)\nu (\tau _{h}(n'))\eta (h)\eta (h')=\nu (n)\eta (h)\nu (n')\eta (h'),}$

ce qui équivaut à

${\displaystyle \nu (\tau _{h}(n'))\eta (h)=\eta (h)\nu (n')}$

ou encore à

${\displaystyle \nu (\tau _{h}(n'))=\eta (h)\nu (n')\eta (h)^{-1}.}$

Que ceci soit vrai pour tous ${\displaystyle n,n'}$ dans N et tous ${\displaystyle h,h'}$ dans H revient clairement à la condition exprimée dans l'assertion (i) de l'énoncé.

Supposons, comme en (ii), que notre application ${\displaystyle \psi }$ soit un homomorphisme (on vient de déterminer à quelle condition c'est vrai), que ${\displaystyle \nu }$ et ${\displaystyle \eta }$ soient injectifs et que ${\displaystyle \nu (N)\cap \eta (H)=1}$; prouvons qu'alors ${\displaystyle \psi }$ est injectif.
Puisque ${\displaystyle \psi }$ est un homomorphisme, il suffit de prouver que si n est un élément de N et h un élément de H tels que ${\displaystyle \psi (n,h)=1}$, alors n = 1 (dans N) et h = 1 (dans H).
Par définition de ${\displaystyle \psi }$, l'hypothèse ${\displaystyle \psi (n,h)=1}$ signifie ${\displaystyle \nu (n)\eta (h)=1.}$ Puisqu'on suppose ${\displaystyle \nu (N)\cap \eta (H)=1}$, on a donc ${\displaystyle \nu (n)=\eta (h)=1}$. Puisque ${\displaystyle \nu }$ et ${\displaystyle \eta }$ sont des homomorphismes injectifs, on a donc n = 1 et h = 1, ce qui, comme on l'a vu, prouve que ${\displaystyle \psi }$ est injectif.
Donc ${\displaystyle \psi }$ induit par corestriction un isomorphisme de ${\displaystyle N\rtimes _{\tau }H}$ sur ${\displaystyle \psi (N\rtimes _{\tau }H).}$
D'après un théorème ci-dessus intitulé « Produit semi-direct externe comme produit semi-direct interne », ${\displaystyle N\rtimes _{\tau }H}$ est produit semi-direct interne de ${\displaystyle N\times \{1\}}$ par ${\displaystyle \{1\}\times H}$, donc, d'après un théorème ci-dessus intitulé « Image d'un produit semi-direct interne par un isomorphisme », ${\displaystyle \psi (N\rtimes _{\tau }H)}$ est produit semi-direct interne de ${\displaystyle \psi (N\times \{1\})}$ par ${\displaystyle \psi (\{1\}\times H)}$, c'est-à-dire de ${\displaystyle \nu (N)}$ par ${\displaystyle \eta (H)}$, ce qui achève la démonstration du point (ii) de l'énoncé.

Soient G un groupe, produit semi-direct (interne) d'un sous-groupe normal N par un sous-groupe H.
Désignons par ${\displaystyle \tau }$ l'homomorphisme de H dans Aut(N) qui, pour tout h dans H, applique h sur l'automorphisme ${\displaystyle \tau _{h}}$ de N défini par ${\displaystyle \tau _{h}(n)=hnh^{-1}}$ pour tout n dans N.
(i) L’application ${\displaystyle (n,h)\mapsto nh}$ définit un isomorphisme du produit semi-direct externe ${\displaystyle N\rtimes _{\tau }H}$ sur le produit semi-direct interne G = NH. (ii) L'isomorphisme réciproque peut se caractériser comme l'unique isomorphisme de G sur ${\displaystyle N\rtimes _{\tau }H}$ qui, pour tout élément n de N, applique n sur (n, 1) et, pour tout élément h de H, applique h sur (1, h).

Désignons par ${\displaystyle \nu }$ l'homomorphisme inclusion ${\displaystyle n\mapsto n}$ de N dans G et par ${\displaystyle \eta }$ l'homomorphisme inclusion ${\displaystyle h\mapsto h}$ de H dans G.
Par définition de ${\displaystyle \tau }$, nous avons, pour tout n dans N et tout h dans H,

${\displaystyle \tau _{h}(n)=hnh^{-1},}$

ce qui peut s'écrire

${\displaystyle \nu (\tau _{h}(n))=\eta (h)\ \nu (n)\ \eta (h)^{-1}.}$

De plus, les homomorphismes ${\displaystyle \nu }$ et ${\displaystyle \eta }$ sont injectifs et ${\displaystyle \nu (N)\cap \eta (H)=1,}$ donc, d'après un lemme ci-dessus (intitulé « Homomorphismes partant d'un produit semi-direct externe »),

${\displaystyle (n,h)\mapsto \nu (n)\ \eta (h)=nh}$

définit un isomorphisme de ${\displaystyle N\rtimes _{\tau }H}$ sur ${\displaystyle \nu (N)\ \eta (H)=NH=G.}$ Ceci démontre l'assertion (i) de l'énoncé. L'assertion (ii) s'en déduit facilement.

Soient G₁ un groupe, produit semi-direct interne d'un sous-groupe normal N par un sous-groupe H.
Soient G₂ un groupe, ${\displaystyle \nu }$ un homomorphisme de N dans G₂, ${\displaystyle \eta }$ un homomorphisme de H dans G₂.
On suppose que, pour tout n dans N et tout h dans H,

${\displaystyle \nu (hnh^{-1})=\eta (h)\ \nu (n)\ \eta (h)^{-1}.}$

Alors

(i) il existe un et un seul homomorphisme, soit ${\displaystyle \lambda }$, de G₁ dans G₂ qui coïncide avec ${\displaystyle \nu }$ sur N et avec ${\displaystyle \eta }$ sur H;

(ii) si les homomorphismes ${\displaystyle \nu }$ et ${\displaystyle \eta }$ sont injectifs et que leurs images ${\displaystyle \nu (N)}$ et ${\displaystyle \eta (H)}$ se coupent trivialement, alors

l'homomorphisme ${\displaystyle \lambda }$ est injectif,

il induit par corestriction un isomorphisme de G₁ sur le sous-groupe de G₂ engendré par ${\displaystyle \nu (N)}$ et ${\displaystyle \eta (H)}$,

le sous-groupe de G₂ engendré par ${\displaystyle \nu (N)}$ et ${\displaystyle \eta (H)}$ est produit semi-direct interne de ${\displaystyle \nu (N)}$ par ${\displaystyle \eta (H)}$.

On pourrait refaire des raisonnements tenus dans la démonstration du lemme intitulé « Homomorphismes partant d'un produit semi-direct externe », mais on va plutôt utiliser ce lemme.
Désignons par ${\displaystyle \tau }$ l'homomorphisme de H dans Aut(N) qui, pour tout h dans H, applique h sur l'automorphisme ${\displaystyle \tau _{h}}$ de N défini par ${\displaystyle \tau _{h}(n)=hnh^{-1}}$ pour tout n dans N.
D'après le théorème «Isomorphisme entre produit semi-direct interne et produit semi-direct externe », point (ii), il existe un (et un seul) isomorphisme ${\displaystyle \sigma }$ de G₁ sur ${\displaystyle N\rtimes _{\tau }H}$ tel que, pour tout n dans N et tout h dans H,

${\displaystyle \sigma (n)=(n,1)}$ et ${\displaystyle \sigma (h)=(1,h).}$

L'hypothèse (de l'énoncé) ${\displaystyle \nu (hnh^{-1})=\eta (h)\ \nu (n)\ \eta (h)^{-1}}$ peut s'écrire

${\displaystyle \nu (\tau _{h}(n))=\eta (h)\ \nu (n)\ \eta (h)^{-1},}$

donc, d'après le lemme ci-dessus intitulé « Homomorphismes partant d'un produit semi-direct externe », point (i), l'application

${\displaystyle \psi$ :(n,h)\mapsto \nu (n)\eta (h)}

est un homomorphisme de ${\displaystyle N\rtimes _{\tau }H}$ dans G₂.
Donc le composé

${\displaystyle \lambda =\psi \circ \sigma }$

est un homomorphisme de ${\displaystyle G_{1}}$ dans ${\displaystyle G_{2}}$.
D'après les définitions de ${\displaystyle \sigma }$ et de ${\displaystyle \psi }$, nous avons, pour tout n dans N et tout h dans H,

(1) ${\displaystyle \lambda (n)=\psi (n,1)=\nu (n)}$

et

(2) ${\displaystyle \lambda (h)=\psi (1,h)=\eta (h).}$

Donc ${\displaystyle \lambda }$ est un homomorphisme de ${\displaystyle G_{1}}$ dans ${\displaystyle G_{2}}$ qui coïncide avec ${\displaystyle \nu }$ sur N et avec ${\displaystyle \eta }$ sur H. Puisque N et H engendrent ${\displaystyle G_{1}}$, ${\displaystyle \lambda }$ est le seul homomorphisme de ${\displaystyle G_{1}}$ dans ${\displaystyle G_{2}}$ qui possède cette propriété.
Nous avons donc prouvé l'assertion (i) de l'énoncé.

Si ${\displaystyle \nu }$ et ${\displaystyle \eta }$ sont injectifs et que leurs images se coupent trivialement, alors, d'après le lemme ci-dessus intitulé « Homomorphismes partant d'un produit semi-direct externe », point (ii), l'homomorphisme ${\displaystyle \psi }$ de ${\displaystyle N\rtimes _{\tau }H}$ dans G₂ est injectif. Puisque ${\displaystyle \sigma }$ est un isomorphisme, il en résulte que ${\displaystyle \lambda }$, égal à ${\displaystyle \psi \circ \sigma ,}$ est injectif. Donc ${\displaystyle \lambda }$ induit par corestriction un isomorphisme de ${\displaystyle G_{1}}$ sur ${\displaystyle \lambda (G_{1}).}$ D'après le théorème intitulé « Image d'un produit semi-direct interne par un isomorphisme », ${\displaystyle \lambda (G_{1})}$ est donc produit semi-direct interne de ${\displaystyle \lambda (N)}$ par ${\displaystyle \lambda (H)}$, autrement dit, d'après (1) et (2), de ${\displaystyle \nu (N)}$ par ${\displaystyle \eta (H)}$. La partie (ii) de l'énoncé en résulte.

Soient ${\displaystyle \ \tau _{1}}$ une opération d'un groupe H₁ sur un groupe N₁ par automorphismes et ${\displaystyle \ \tau _{2}}$ une opération d'un groupe H₂ sur un groupe N₂ par automorphismes. On dira que ces deux opérations sont quasi équivalentes comme opérations par automorphismes (et non seulement comme opérations de groupes sur des ensembles) s'il existe un isomorphisme (et non seulement une bijection) f de N₁ sur N₂ et un isomorphisme g de H₁ sur H₂ tels que, pour tout élément x de N₁ et tout élément y de H₁, on ait

${\displaystyle \ f(\ ^{y}x\ )=\ ^{g(y)}f(x).}$

Si ${\displaystyle \ \tau _{1}}$ et ${\displaystyle \ \tau _{2}}$ sont vus comme des homomorphismes de H₁ dans Aut(N₁) et de H₂ dans Aut(N₂) respectivement, cette condition sur f et sur g revient à

${\displaystyle \tau _{2}={\hat {f}}\circ \tau _{1}\circ g^{-1},}$

où ${\displaystyle {\hat {f}}}$ désigne l'isomorphisme h ↦ f ∘ h ∘ f^-1 de Aut(N₁) sur Aut(N₂).

Soient ${\displaystyle \ \tau _{1}}$ une opération d'un groupe H sur un groupe N₁ par automorphismes et ${\displaystyle \ \tau _{2}}$ une opération du groupe H sur un groupe N₂ par automorphismes. On dira que ces deux opérations sont équivalentes comme opérations par automorphismes (et non seulement comme opérations de groupe sur des ensembles) s'il existe un isomorphisme (et non seulement une bijection) f de N₁ sur N₂ tel que, pour tout élément x de N₁ et tout élément y de H, on ait

${\displaystyle \ f(\ ^{y}x\ )=\ ^{y}f(x).}$

Si ${\displaystyle \ \tau _{1}}$ et ${\displaystyle \ \tau _{2}}$ sont vus comme des homomorphismes de H dans Aut(N₁) et de H dans Aut(N₂) respectivement, cette condition sur f revient à

${\displaystyle \tau _{2}={\hat {f}}\circ \tau _{1},}$

où ${\displaystyle {\hat {f}}}$ désigne l'isomorphisme h ↦ f ∘ h ∘ f^-1 de Aut(N₁) sur Aut(N₂).

Soient ${\displaystyle N_{1}}$ et ${\displaystyle H_{1}}$ des groupes, soit ${\displaystyle \tau _{1}:y\mapsto \tau _{1,y}:x\mapsto \tau _{1,y}(x)}$ un homomorphisme de ${\displaystyle H_{1}}$ dans ${\displaystyle \mathrm {Aut} (N_{1})}$.
Soient ${\displaystyle N_{2}}$ et ${\displaystyle H_{2}}$ des groupes, soit ${\displaystyle \ \tau _{2}:y\mapsto \tau _{2,y}:x\mapsto \tau _{2,y}(x)}$ un homomorphisme de ${\displaystyle H_{2}}$ dans ${\displaystyle \mathrm {Aut} (N_{2})}$.
Si les deux opérations correspondant à ${\displaystyle \tau _{1}}$ et à ${\displaystyle \tau _{2}}$ sont quasi équivalentes comme opérations par automorphismes, alors ${\displaystyle N_{1}\rtimes _{\tau _{1}}H_{1}}$ est isomorphe à ${\displaystyle N_{2}\rtimes _{\tau _{2}}H_{2}}$.
Plus précisément, si f est un isomorphisme de N₁ sur N₂ et g un isomorphisme de H₁ sur H₂ tels que, pour tout élément x de N₁ et tout élément y de H₁, on ait

${\displaystyle f(^{y}x\ )=\ ^{g(y)}f(x),}$

autrement dit

${\displaystyle f(\tau _{1,y}(x))=\tau _{2,g(y)}(f(x))}$

alors l'application

${\displaystyle \ (x,y)\mapsto (f(x),g(y))}$

définit un isomorphisme de ${\displaystyle N_{1}\rtimes _{\tau _{1}}H_{1}}$ sur ${\displaystyle N_{2}\rtimes _{\tau _{2}}H_{2}}$.

Soit ${\displaystyle \nu }$ l'homomorphisme ${\displaystyle x\mapsto (f(x),1)}$ de ${\displaystyle N_{1}}$ dans ${\displaystyle N_{2}\rtimes _{\tau _{2}}H_{2}}$; ${\displaystyle \nu }$ induit par corestriction un isomorphisme de ${\displaystyle N_{1}}$ sur le sous-groupe ${\displaystyle N_{2}\times \{1\}}$ de ${\displaystyle N_{2}\rtimes _{\tau _{2}}H_{2}.}$
Soit ${\displaystyle \eta }$ l'homomorphisme ${\displaystyle y\mapsto (1,g(y))}$ de ${\displaystyle H_{1}}$ dans ${\displaystyle N_{2}\rtimes _{\tau _{2}}H_{2}}$; ${\displaystyle \eta }$ induit par corestriction un isomorphisme de ${\displaystyle H_{1}}$ sur le sous-groupe ${\displaystyle \{1\}\times H_{2}}$ de ${\displaystyle N_{2}\rtimes _{\tau _{2}}H_{2}.}$
Pour prouver la seconde assertion de l'énoncé, nous avons à prouver que l'application

${\displaystyle \psi \colon (x,y)\mapsto \nu (x)\ \eta (y)=(f(x),g(y))}$

de ${\displaystyle N_{1}\rtimes _{\tau _{1}}H_{1}}$ dans ${\displaystyle N_{2}\rtimes _{\tau _{2}}H_{2}}$ est un isomorphisme (rappelons que le produit ${\displaystyle \nu (x)\ \eta (y)}$ ci-dessus est calculé dans ${\displaystyle N_{2}\rtimes _{\tau _{2}}H_{2}}$). ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ étant bijectives, la relation ${\displaystyle \psi (x,y)=(f(x),g(y))}$ pour tout ${\displaystyle (x,y)}$ dans ${\displaystyle N_{1}\rtimes _{\tau _{1}}H_{1}}$ montre que ${\displaystyle \psi }$ l'est aussi.
Il reste donc à prouver que ${\displaystyle \psi }$ est un homomorphisme. D'après un lemme ci-dessus intitulé « Homomorphismes partant d'un produit semi-direct externe », point (i), il suffit pour cela de prouver que, pour tout x dans ${\displaystyle N_{1}}$ et tout y dans ${\displaystyle H_{1}}$,

(thèse 1) ${\displaystyle \qquad \nu (\tau _{1,y}(x))=\eta (y)\nu (x)\eta (y)^{-1},}$

où le second membre est calculé dans ${\displaystyle N_{2}\rtimes _{\tau _{2}}H_{2}}$.
Par définition de ${\displaystyle \nu }$ et de ${\displaystyle \eta }$, la thèse (1) peut s'écrire

${\displaystyle (f(\tau _{1,y}(x)),1)=(1,g(y))\ (f(x),1)\ (1,g(y))^{-1}}$.

En remplaçant le premier membre compte tenu des hypothèses de l'énoncé, nous mettons cette thèse sous la forme

${\displaystyle (\tau _{2,g(y)}(f(x)),1)=(1,g(y))\ (f(x),1)\ (1,g(y))^{-1}}$

et ceci est un cas particulier de la relation

${\displaystyle \quad (\tau _{h}(n),1)=(1,h)\ (n,1)\ (1,h)^{-1},}$

notée dans un théorème ci-dessus (« Produit semi-direct externe comme produit semi-direct interne »).
Nous avons donc démontré la seconde assertion de l'énoncé. La première en résulte.