On appelle groupe caractéristiquement simple un groupe ${\displaystyle G\not =1}$ qui n'a pour sous-groupes caractéristiques que G et 1.

Tout groupe simple est caractéristiquement simple.

Soit G un groupe simple. Prouvons que G est caractéristiquement simple. Soit H un sous-groupe caractéristique de G. Il s'agit de prouver que H est égal à 1 ou à G. Puisque H est sous-groupe caractéristique de G, il est sous-groupe distingué de G. Puisque G est supposé simple, H doit donc être égal à 1 ou à G, comme annoncé.

Tout groupe résoluble et caractéristiquement simple est commutatif.

Soit G un groupe résoluble et caractéristiquement simple. Qu'on admette ou non les groupes triviaux parmi les groupes caractéristiquement simples, on peut évidemment supposer G > 1. Puisque le dérivé G' de G est un sous-groupe caractéristique de G, on doit avoir G' = G ou G' = 1. Mais puisque G est résoluble et > 1, G' n’est pas égal à G, donc G' = 1, donc G est commutatif.

Soit G un groupe. On appelle sous-groupe normal minimal de G un sous-groupe de G minimal (pour la relation d'inclusion) parmi les sous-groupes normaux de G non réduits à l'élément neutre.

Soient N un sous-groupe normal minimal d'un groupe G et H un sous-groupe normal de G. Ou bien N est contenu dans H, ou bien ${\displaystyle N\cap H=1.}$

Puisque N et H sont tous deux des sous-groupes normaux de G, ${\displaystyle N\cap H}$ est un sous-groupe normal de G, évidemment contenu dans N. Puisque N est un sous-groupe normal minimal de G, ${\displaystyle N\cap H}$ est donc réduit à l'élément neutre ou égal à N. Dans le second cas, N est contenu dans H.

Soient N un sous-groupe normal minimal d'un groupe G et ${\displaystyle \sigma }$ un isomorphisme de G sur un groupe H. L'image ${\displaystyle \sigma (N)}$ est un sous-groupe normal minimal de H. En particulier, pour tout automorphisme ${\displaystyle \sigma }$ de G, ${\displaystyle \sigma (N)}$ est un sous-groupe normal minimal de G.

Soient G un groupe fini et H un sous-groupe normal de G non réduit à l'élément neutre. Il existe au moins un sous-groupe normal minimal de G qui est contenu dans H. Tout groupe fini non réduit à l'élément neutre contient au moins un sous-groupe normal minimal.

Il existe au moins un sous-groupe normal N de G d'ordre > 1 et contenu dans H, par exemple N = H. Parmi les sous-groupes N possédant cette propriété, choisissons-en un, soit M, dont l’ordre soit le plus petit possible. Alors M est un sous-groupe normal minimal de G. En effet, si, par absurde, il existait un sous-groupe normal de G tel que 1 < L < M, on aurait ${\displaystyle 1<\vert L\vert <\vert M\vert }$, ce qui contredit la minimalité de l’ordre ${\displaystyle \vert M\vert }$. La première partie de l'énoncé est donc démontrée. En faisant H = G, on obtient la seconde partie.

Tout sous-groupe normal minimal est un groupe caractéristiquement simple.

Soient G un groupe et N un sous-groupe normal minimal de G. Il s'agit de prouver que le groupe N est caractéristiquement simple, c'est-à-dire que N n’est pas réduit à l'élément neutre et que ses seuls sous-groupes caractéristiques sont 1 et N. Par définition d'un sous-groupe normal minimal, N n’est pas réduit à l'élément neutre. Soit K un sous-groupe caractéristique de N. Il rest à prouver que K est égal à 1 ou à N. Puisque K est caractéristique dans N et N normal dans G, K est normal dans G. (Voir chapitre Sous-groupes caractéristiques.) Puisque K est contenu dans N et que N est un sous-groupe normal minimal de G, K est donc égal à 1 ou à N, ce qui prouve notre thèse.

Soient G un groupe et H un sous-groupe normal minimal de G. Si H est facteur direct de G, H est simple.

Soit K un sous-groupe normal de H. Il s'agit de prouver que K est égal à 1 ou à H. Puisque H est facteur direct de G et que K est sous-groupe normal de H, K est sous-groupe normal de G. (Voir le chapitre Produit de groupes.) Puisque H est sous-groupe normal minimal de G, K doit donc être égal à 1 ou à H, ce qui, comme nous l'avons vu, prouve que H est simple.

Soient G un groupe fini caractéristiquement simple et H un sous-groupe normal minimal de G. Le groupe H est simple et G est produit direct H₁ × H₂ × ... × H_n d'une famille de sous-groupes simples tous isomorphes à H, avec n ≥ 1 et H₁ = H.

Considérons les sous-groupes S de G possédant la propriété suivante : il existe un nombre naturel n ≥ 1 et un n-uplet H₁, H₂, ... , H_nde sous-groupes de G, avec H₁ = H, tels que, pour chaque i, H_i soit image de H par un automorphisme de G et que S soit le produit direct H₁ × H₂ × ... × H_n. Il existe au moins un tel sous-groupe S, à savoir H. Parmi ces sous-groupes S de N, nous pouvons donc en choisir un, soit M, dont l’ordre est maximal. (Il est clair que M est alors maximal pour la relation d'inclusion parmi les sous-groupes S en question.)

Prouvons que M est égal à G tout entier. Puisque M contient H, il n’est pas réduit à l'élément neutre. Puisque G est caractéristiquement simple, il suffit donc, pour prouver que M = G, de prouver que M est caractéristique dans G. Soit ${\displaystyle \sigma }$ un automorphisme de G. Pour prouver que M est caractéristique dans G, il suffit de prouver que ${\displaystyle \sigma (M)}$ est contenu dans M. Par choix de M, M est produit direct H₁ × H₂ × ... × H_n, où H₁ = H et où, pour chaque i (1 ≤ i n), H_i est de la forme ${\displaystyle \varphi _{i}(H)}$, où ${\displaystyle \varphi _{i}}$ est un automorphisme de G. Pour prouver que ${\displaystyle \sigma (M)}$ est contenu dans M, il suffit de prouver que, pour chaque i,

${\displaystyle (1)\qquad \sigma (H_{i})\subseteq M.}$

Puisque H est un sous-groupe normal de G, chaque ${\displaystyle \varphi _{i}(H)}$, autrement dit chaque ${\displaystyle H_{i}}$, est un sous-groupe normal de G. Donc M, qui est engendré par les H_i, est un sous-groupe normal de G. Supposons que, par absurde, il y ait un i tel que ${\displaystyle \sigma (H_{i})}$ ne soit pas contenu dans M. D'après le lemme 2, ${\displaystyle \sigma (H_{i})}$ est un sous-groupe normal minimal de G, donc, dans notre hypothèse où il n’est pas contenu dans M, il résulte du lemme 1 que ${\displaystyle \sigma (H_{i})\cap M=1.}$ Puisque M et ${\displaystyle \sigma (H_{i})}$ sont tous deux des sous-groupes normaux de G, il en résulte (voir chapitre Produit de groupes) que le sous-groupe de G qu’ils engendrent est produit direct ${\displaystyle M\times \sigma (H_{i}).}$ Ceci contredit clairement la maximalité de l’ordre de M. Cette contradiction prouve notre thèse (1). Comme nous l'avons vu, il en résulte que M est caractéristique dans G et, comme nous l'avons vu aussi, ceci entraîne que M est égal à G tout entier. Donc G est produit direct de H et d'une famille de sous-groupes de G tous isomorphes à H, ce qui démontre la seconde partie de l'énoncé.

Prouvons maintenant que le groupe H est simple. D'après ce que nous venons de démontrer, H est facteur direct de G. Puisque, par hypothèse, H est sous-groupe normal minimal de G, il résulte d'un des théorèmes ci-dessus que H est simple.

Tout groupe fini caractéristiquement simple est produit direct d'une famille de sous-groupes simples tous isomorphes entre eux.

Cela résulte immédiatement du théorème qui précède, puisque nous avons vu qu'un groupe fini non réduit à l'élément neutre admet toujours au moins un sous-groupe normal minimal.

Tout sous-groupe normal minimal d'un groupe fini G est produit direct d'une famille de sous-groupes simples tous isomorphes entre eux.

C'est une conséquence immédiate du corollaire 1, puisque nous avons vu qu'un sous-groupe normal minimal est toujours caractéristiquement simple.

Soient G un groupe fini, N un sous-groupe normal minimal de G et H un sous-groupe normal minimal de N. Le groupe H est simple et N est produit direct H₁ × H₂ × ... × H_n d'une famille de sous-groupes simples tous conjugués de H dans G, avec n ≥ 1 et H₁ = H.

Considérons les sous-groupes S de N possédant la propriété suivante : il existe un nombre naturel n ≥ 1 et un n-uplet H₁, H₂, ... , H_nde sous-groupes de N, avec H₁ = H, tels que, pour chaque i, H_i soit conjugué de H dans G et que S soit le produit direct H₁ × H₂ × ... × H_n. Il existe au moins un tel sous-groupe S, à savoir H. Parmi ces sous-groupes S de G, nous pouvons donc en choisir un, soit M, dont l’ordre est maximal. (Il est clair que M est alors maximal pour la relation d'inclusion parmi les sous-groupes S en question.)

Prouvons que M est égal à N tout entier. Puisque M contient H, il n’est pas réduit à l'élément neutre. Puisque N est un sous-groupe normal minimal de G, il suffit donc, pour prouver que M = N, de prouver que M est normal dans G. Soit x un élément de G. Pour prouver que M est normal dans G, il suffit de prouver que x M x^-1 est contenu dans M. Par choix de M, M est produit direct H₁ × H₂ × ... × H_n, où H₁ = H et où, pour chaque i (1 ≤ i n), H_i est un conjugué de H dans G Pour prouver que x M x^-1 est contenu dans M, il suffit de prouver que, pour chaque i,

${\displaystyle (1)\qquad xH_{i}x^{-1}\subseteq M.}$

Puisque H est un sous-groupe normal de N, toute image de H par un automorphisme de N est un sous-groupe normal de N. En particulier, tout conjugué de H dans G est un sous-groupe normal de N (puisque, N étant normal dans G, la conjugaison par un élément de G induit un automorphisme de N). Donc chaque ${\displaystyle H_{i}}$ est un sous-groupe normal de N, donc M, qui est engendré par les H_i, est un sous-groupe normal de N. Supposons que, par absurde, il y ait un i tel que x H_i x^-1 ne soit pas contenu dans M. D'après le lemme 2, x H_i x^-1 est un sous-groupe normal minimal de N, donc, dans notre hypothèse où il n’est pas contenu dans M, il résulte du lemme 1 que ${\displaystyle xH_{i}x^{-1}\cap M=1.}$ Puisque M et ${\displaystyle xH_{i}x^{-1}}$ sont tous deux des sous-groupes normaux de N, il en résulte (voir chapitre Produit de groupes) que le sous-groupe de N qu’ils engendrent est produit direct ${\displaystyle M\times xH_{i}x^{-1}.}$ Ceci contredit clairement la maximalité de l’ordre de M. Cette contradiction prouve notre thèse (1). Comme nous l'avons vu, il en résulte que M est normal dans G et, comme nous l'avons vu aussi, ceci entraîne que M est égal à N tout entier. Donc N est produit direct de H et d'une famille de sous-groupes de N tous conjugués à H dans G.

D'après le précédent théorème, tout sous-groupe normal minimal d'un groupe caractéristiquement simple est simple. Or N est caractéristiquement simple (car nous avons vu que tout sous-groupe normal minimal est caractéristiquement simple), donc H est simple, ce qui achève de démontrer l'énoncé.

Soit G un groupe fini. Tout sous-groupe normal minimal de G est produit direct d'une famille de sous-groupes simples tous conjugués entre eux dans G.

C'est une conséquence immédiate du théorème qui précède, puisque tout groupe fini non réduit à l'élément neutre (et en particulier tout sous-groupe normal minimal de G) admet un sous-groupe normal minimal.

Un groupe G est dit abélien élémentaire s'il est abélien et qu'il existe un nombre premier p tel que, pour tout élément x de G, on ait (G étant noté additivement) px = 0.

Soit G un groupe fini résoluble. Tout sous-groupe normal minimal de G est abélien élémentaire.

Soit N un sous-groupe normal minimal de G. D'après le corollaire précédent, N est produit direct de groupes simples tous isomorphes entre eux. Puisque G est résoluble, ces groupes simples sont résolubles. On sait que les seuls groupes simples résolubles sont les groupes d'ordre premier, d'où l'énoncé.

Soit G un groupe, somme restreinte interne ${\displaystyle G=\sum _{i\in I}G_{i}}$ d'une famille (finie ou infinie) ${\displaystyle (G_{i})_{i\in I}}$ de sous-groupes tous simples et tous non abéliens. Si N est un sous-groupe normal de G, il existe une partie J de I telle que ${\displaystyle N=\sum _{i\in J}G_{i}}$.

Désignons par J l'ensemble des élément i de I tels que G_i soit contenu dans N et désignons par K l'ensemble des élément i de I tels que G_i ne soit pas contenu dans N.
Alors ${\displaystyle G=(\sum _{j\in J}G_{j})\times \sum _{k\in K}G_{k}.}$ Puisque N contient ${\displaystyle \sum _{j\in J}G_{j}}$, on en tire facilement ${\displaystyle N=(\sum _{j\in J}G_{j})\times (N\cap \sum _{k\in K}G_{k}).}$ Pour prouver l'énoncé, il suffit donc de prouver que

(thèse 1) ${\displaystyle \qquad N\cap \sum _{k\in K}G_{k}=1.}$

Soit k' un élément de K. Par définition de K, le sous-groupe simple G_k' de G n'est pas contenu dans le sous-groupe normal N de G, donc G_k' ⋂ N = 1. (En effet, de façon générale, si N est un sous-groupe normal d'un groupe G, si S est un sous-groupe simple de G, alors N ⋂ S est un sous-groupe normal du groupe simple S et est donc égal à 1 ou à S, le second cas ne se produisant que si S est contenu dans N.)
Puisque G_k' et N sont tous deux normaux dans G, notre résultat G_k' ⋂ N = 1 entraîne que N centralise G_k'. (En effet, de façon générale, si deux sous-groupes normaux d'un même groupe ont une intersection réduite à l'élément neutre, ces deux sous-groupes se centralisent l'un l'autre; voir un problème de la série Sous-groupe distingué, groupe quotient.)
A fortiori,

(2) pour tout élément k' de K, ${\displaystyle N\cap \sum _{k\in K}G_{k}}$ centralise G_k'.

D'autre part, ${\displaystyle N\cap \sum _{k\in K}G_{k}}$ est contenu dans ${\displaystyle \sum _{k\in K}G_{k}}$ et, puisque G est par hypothèse somme restreinte ${\displaystyle G=\sum _{i\in I}G_{i},}$ ${\displaystyle \sum _{k\in K}G_{k}}$ centralise G_j pour tout élément j de J. Donc

(3) pour tout élément j de J, ${\displaystyle N\cap \sum _{k\in K}G_{k}}$ centralise G_j

De (2) et (3), il résulte que ${\displaystyle N\cap \sum _{k\in K}G_{k}}$ centralise G tout entier, c'est-à-dire que

(4) ${\displaystyle N\cap \sum _{k\in K}G_{k}}$ est contenu dans le centre de G.

Mais puisque les G_i (pour i dans I) sont simples et non abéliens, leurs centres sont réduits à l'élément neutre; comme le centre d'une somme restreinte est la somme restreinte des centres (voir un problème de la série Produit de groupes), le centre de G est réduit à l'élément neutre, donc (4) signifie que

${\displaystyle N\cap \sum _{k\in K}G_{k}=1,}$

ce qui est notre thèse (1). Comme nous l'avons vu, l'énoncé en résulte.

Soit V un espace vectoriel (à gauche ou à droite). Le groupe additif V, + de V est caractéristiquement simple.

Soit H un sous-groupe de V, + tel que 0 < H < V. Pour prouver que V, + est caractéristiquement simple, nous avons à prouver que H n’est pas caractéristique dans V, +.
Puisque 0 < H, nous pouvons choisir un élément non nul a dans H. Puisque H est < V, nous pouvons choisir un élément b de G hors de H. Alors b est évidemment non nul, donc, d’après la théorie des espaces vectoriels, il existe un automorphisme (permutation linéaire) f de l'espace vectoriel V qui applique a sur b. (Choisir une base A comprenant a, une base B comprenant b et une bijection de A sur B. Cette bijection se prolonge en un automorphisme d'espace vectoriel.) Alors f est un automorphisme du groupe V, + et f(H) comprend l'élément f(a) = b, qui n'appartient pas à H, donc f(H) est distinct de H, donc H n’est pas caractéristique dans G. Comme nous l'avons vu, cela prouve que G est caractéristiquement simple.

Si un groupe est somme restreinte d'une famille (finie ou infinie) de sous-groupes simples tous isomorphes entre eux, il est caractéristiquement simple.

Soit G un groupe, somme restreinte ${\displaystyle G=\sum _{i\in I}G_{i}}$, où les G_i sont des sous-groupes simples isomorphes entre eux. Les G_i sont ou bien tous commutatifs ou bien tous non commutatifs.

Premier cas : les G_i sont tous commutatifs.
Dans ce cas, nous noterons G additivement.
Puisque les seuls groupes simples commutatifs sont les groupes d'ordre premier et que les G_i sont supposés isomorphes entre eux, il existe un nombre premier p tel que chaque G_i soit un groupe d'ordre p. Donc G est un groupe abélien tel que, pour tout élément x de G, px = 0. Comme noté dans un problème de la série Produit de groupes, G est donc le groupe additif d'un espace vectoriel sur le corps F_p à p éléments. D'après le lemme qui précède, G est donc caractéristiquement simple. L'énoncé est donc démontré dans le premier cas (où les G_i sont commutatifs).

Second cas : les G_i sont tous non commutatifs.
Soit H un sous-groupe normal de G tel que 1 < H < G. Il s'agit de prouver que H n’est pas caractéristique dans G. D'après le théorème précédent, il existe une partie J de I telle que

${\displaystyle H=\sum _{i\in J}G_{i}}$.

Puisque H > 1, il existe au moins un indice qui appartient à J, soit j. D'autre part, puisque H < G, il existe un élément de I, soit i, qui n'appartient pas à J et est donc distinct de j. D'après un corollaire de la propriété universelle de la somme restreinte (chapitre Produit de groupes), il existe un automorphisme f de G qui envoie G_j sur G_i. Alors f(H) contient G_i, qui n’est pas contenu dans H, donc f(H) est distinct de H, donc H n’est pas caractéristique dans G, ce qui achève la démonstration.