Théorie des groupes/Exercices/Sous-groupe distingué, groupe quotient

Problème 1

Prouver que tout sous-groupe d'indice 2 est normal.

Solution

Soit H un sous-groupe d'indice 2 du groupe G. Les classes à gauche de G suivant H sont en quantité 2, donc il est clair que ces classes à gauche sont H et la partie complémentaire de H dans G. De même, les classes à droite suivant H sont H et la partie complémentaire de H dans G. Ainsi, les classes à gauche et les classes à droite suivant H sont identiques, donc H est normal.

Problème 2

Désignons par S le groupe des permutations de l’ensemble E = {1, 2, 3}, la loi de groupe étant la composition (f, g) ↦ f ∘ g. Désignons par id la permutation identique de E. Si a et b sont deux différents éléments de E, désignons par (a b) la permutation de E qui applique a sur b, b sur a et laisse donc fixe l'élément de E distinct de a et de b. Il est clair que {id, (1 2)} est un sous-groupe de S. Prouver que ce n’est pas un sous-groupe normal de S.

Solution

Il est clair que (1 3)^-1 = (1 3), donc (1 3)^-1 ∘ (1 2) ∘ (1 3) = (1 3) ∘ (1 2) ∘ (1 3) = (2 3). Comme (2 3) n'appartient pas au sous-groupe {id, (1 2)}, il en résulte que ce sous-groupe n’est pas normal dans S.

Problème 3

Soient G un groupe et $(H_{i})_{i\in I}$ une famille de sous-groupes de G. On désigne par H le sous-groupe de G engendré par les H_i. Prouver que

(1)\qquad \bigcap _{i\in I}N_{G}(H_{i})\subseteq N_{G}(H)

et que l'inclusion réciproque n’est pas forcément vraie.

Solution

Prouvons la relation (1). Soit g un élément de G qui normalise tous les H_i; il s'agit de prouver que g normalise H. Désignons par $\sigma _{g}$ l'automorphisme $x\mapsto gxg^{-1}$ de G. Il s'agit de prouver que H est invariant par $\sigma _{g}$ . Or $\sigma _{g}(H)$ est le sous-groupe de G engendré par les $\sigma _{g}(H_{i})$ ; puisque g normalise tous les H_i, les $\sigma _{g}(H_{i})$ sont les H_i. Donc $\sigma _{g}(H)$ est le sous-groupe de G engendré par les H_i, c'est-à-dire est égal à H, donc H est bien invariant par $\sigma _{g}$ comme annoncé.
Nous avons donc prouvé la relation (1) de l'énoncé. Prouvons que l'inclusion réciproque n’est pas vraie. Soit G un groupe admettant un sous-groupe K non distingué. (On sait que le cas se présente.) Posons H₁ = K et H₂ = G. Le sous-groupe H engendré par H₁ et H₂ est G tout entier, donc $N_{G}(H)$ est G tout entier, donc $N_{G}(H)$ n’est pas contenu dans $N_{G}(H_{1})\cap N_{G}(H_{2})$ , car G n’est pas contenu dans $N_{G}(H_{1})=N_{G}(K)$ .

Problème 4

Soient G₁ et G₂ deux groupes, f un homomorphisme surjectif de G₁ sur G₂. Soit A une partie de G₁. Désignons par Dist(A) le sous-groupe distingué de G₁ engendré par A. Prouver que f(Dist(A)) est le sous-groupe distingué de G₂ engendré par f(A).

Solution

Du fait que f est surjectif, il résulte (théorie) que f(Dist(A)) est un sous-groupe distingué de G₂. Puisque Dist(A) contient A, f(Dist(A)) contient f(A). Ainsi, f(Dist(A)) est un sous-groupe distingué de G₂ contenant f(A). Il reste à prouver qu’il est contenu dans tout sous-groupe distingué de G₂ contenant f(A). Soit K un sous-groupe distingué de G₂ contenant f(A). Il s'agit de prouver que K contient f(Dist(A)). Puisque K contient f(A), A est contenu dans f^-1(K), qui est un sous-groupe distingué de G₁. Donc, par minimalité de Dist(A), Dist(A) est contenu dans f^-1(K), autrement dit, f(Dist(A)) est contenu dans K, comme annoncé.

Problème 5

Soient G un groupe et H, K des sous-groupes normaux de G tels que H ⋂ K = 1. Tout élément de H commute avec tout élément de K. (Indication : x étant un élément de H et y un élément de K, considérer l'élément x^-1 y^-1 x y de G. Nous retrouverons les éléments de la forme x^-1 y^-1 x y au chapitre Commutateurs, groupe dérivé.)

Solution

Soient x un élément de H et y un élément de K. Il s'agit de prouver que x et y commutent. Cela revient à prouver que x^-1 y^-1 x y = 1. Vu les hypothèses, il suffit de prouver que x^-1 y^-1 x y appartient à H et à K. Il appartient à H parce qu’il est le produit de x^-1, qui appartient à H, et de y^-1 x y, qui appartient à H parce que H est normal dans G. De même, x^-1 y^-1 x y appartient à K, parce qu’il est le produit de x^-1 y^-1 x et de y, qui appartiennent tous deux à K.

Remarque. L'énoncé de ce problème nous servira au chapitre Produit de groupes.

Problème 6

Soient $G$ un groupe, $H$ un sous-groupe distingué de $G$ et $K$ un sous-groupe de $G$ contenant $H$ . Notons $G/K$ l’ensemble des classes à gauche de $G$ suivant $K$ (ici, $G/K$ n'est donc pas nécessairement un groupe, contrairement à $G/H$ ).

Montrer qu’il existe une unique application $h$ de $G/H$ dans $G/K$ telle que, pour tout $x$ dans $G$ , $h(xH)=xK$ .
Montrer que, pour tous $X$ et $Y$ dans $G/H$ , $h(X)=h(Y)$ équivaut à ce que $X$ et $Y$ appartiennent à la même classe à gauche du groupe $G/H$ suivant son sous-groupe $K/H$ .

Solution

Existence
La seule chose à montrer est que la définition $h(xH)=xK$ ne dépend pas du représentant choisi $x$ de la classe $xH\in G/H$ . Prenons donc $x$ et $x^{\prime }$ dans $G$ tels que $xH=x^{\prime }H$ et montrons que $xK=x^{\prime }K$ . Comme $xH=x^{\prime }H$ , on a $x^{-1}x^{\prime }\in H$ , or $H\subseteq K$ donc $x^{-1}x^{\prime }\in K$ , ce qui prouve que $x$ et $x^{\prime }$ sont dans la même classe à gauche modulo $K$ , c'est-à-dire $xK=x^{\prime }K$ . L'application $h$ est donc bien définie.

Unicité

Tout élément de $G/H$ s'écrit $xH$ pour un certain $x$ dans $G$ . La relation donnée définit donc l'image de chaque élément de l'ensemble de départ de $h$ , ce qui prouve l'unicité.
Notons $p$ l'homomorphisme canonique de $G$ sur $G/H$ . Pour tous $x$ et $y$ dans $G$ , on a :
${\begin{aligned}xK=yK&\Leftrightarrow \ \exists k\in K:\ x=yk\\&\Leftrightarrow \ \exists k\in K:\ xH=ykH&&{\text{car }}H\subseteq K\\&\Leftrightarrow \ \exists k\in K:\ xH=yH.kH&&{\text{car }}p{\text{ est un morphisme}}\\&\Leftrightarrow \ \exists \alpha \in K/H:\ xH=yH.\alpha &&{\text{car }}\{kH,\ k\in K\}=p(K)=K/H\end{aligned}}$

Donc $xK=yK$ équivaut à ce que les éléments $xH$ et $yH$ de $G/H$ appartiennent à la même classe à gauche du groupe $G/H$ suivant son sous-groupe $K/H$ . Ceci prouve ce que l'on voulait, puisque si $X=xH$ et $Y=yH$ sont des éléments de $G/H$ , alors $h(X)=xK$ et $h(Y)=yK$ .

Remarque : c'est l'hypothèse « $H$ distingué dans $G$ » qui nous permet d'avoir le morphisme de groupes $p$ .

Problème 7

a) Soient G et H deux groupes. Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes :

1° il existe un homomorphisme surjectif de G sur H;

2° il existe un sous-groupe normal N de G tel que H soit isomorphe au groupe quotient G/N.

Solution

Supposons 1° et prouvons 2°. Par hypothèse, il existe un homomorphisme surjectif f de G sur H. D'après le premier théorème d'isomorphisme, H est isomorphe au groupe quotient G/Ker f, ce qui prouve 2°.
Réciproquement, supposons 2° et prouvons 1°. Par hypothèse, il existe un sous-groupe normal N de G et un isomorphisme $\sigma$ de G/N sur H. Si $\varphi$ désigne l'homomorphisme (surjectif) canonique de G sur G/N, $\sigma \circ \varphi$ est un homomorphisme surjectif de G sur H, ce qui prouve 1°.

b) Si les conditions équivalentes 1° et 2° du point a) sont satisfaites, on dit parfois que H est un quotient de G.
Soit H un quotient de G dans ce sens de l'expression. Prouver que pour tout groupe K,

\vert Hom(H,K)\vert \leq \vert Hom(G,K)\vert .

(Indication : à partir d'un homomorphisme surjectif de G sur H, définir une injection de Hom(H, K) dans Hom(G, K).)

Solution

Par hypothèse, il existe un homomorphisme surjectif f de G sur H. Un groupe K étant donné, considérons l'application

{\tilde {f}}:Hom(H,K)\to Hom(G,K):g\mapsto g\circ f

.

Cette application est injective car f, étant surjectif, est simplifiable à droite du signe $\circ$ . Le fait que ${\tilde {f}}$ soit une injection de Hom(H, K) dans Hom(G, K) entraîne que

\vert Hom(H,K)\vert \leq \vert Hom(G,K),

ce qui démontre l'énoncé.

Remarque. Le point b) nous servira dans une démonstration de l'équipotence des bases d'un même groupe libre.

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