Théorème de Gaschütz

Soient G un groupe fini, K un sous-groupe normal et commutatif de G, U un sous-groupe de G tel que ${\displaystyle K\leq U}$ et ${\displaystyle (\vert K\vert ,\vert G:U\vert )=1.}$

(a) Si K admet un complément dans U, il admet un complément dans G.

(b) Si ${\displaystyle H_{0}}$ et ${\displaystyle H_{1}}$ sont deux compléments de K dans G tels que ${\displaystyle H_{0}\cap U=H_{1}\cap U}$, alors ${\displaystyle H_{0}}$ et ${\displaystyle H_{1}}$ sont conjugués dans G.

Démonstration

Par hypothèse, nous pouvons choisir un complément A de K dans U. Alors :

${\displaystyle (1)\qquad U=AK}$

et

${\displaystyle (2)\qquad A\cap K=1.}$

Soit W une transversale droite de U dans G.

${\displaystyle \ (3)}$ Deux éléments de KW appartiennent à la même classe à droite modulo U si et seulement s'ils sont congrus modulo K.

Tout élément x de G peut se mettre d'une et une seule façon sous la forme :

${\displaystyle (4)\qquad x=x_{A}x_{KW},}$

avec ${\displaystyle x_{A}\in A,x_{KW}\in KW,}$

et peut aussi se mettre d'une et une seule façon sous la forme

${\displaystyle (5)\qquad x=x_{A}x_{K}x_{W},}$

avec ${\displaystyle x_{A}\in A,x_{K}\in K,x_{W}\in W.}$

Nous prenons (4) et (5) comme définitions de symboles ${\displaystyle \ x_{A},x_{K},x_{W}}$ et ${\displaystyle \ x_{KW}}$. On a donc

${\displaystyle (6)\qquad x_{KW}=x_{K}x_{W}}$

${\displaystyle (7)\qquad x_{KW}=x_{A}^{-1}x.}$

(Remarque : ${\displaystyle \ x_{A},x_{K},x_{W}}$ et ${\displaystyle \ x_{KW}}$ dépendent tous de A, de K et de W. Les notations ne sont donc pas explicites.)

D'après (4), ${\displaystyle \ x_{W}}$ est le seul élément de KW tel que

${\displaystyle (8)\qquad Ax=Ax_{KW}.}$

Puisque ${\displaystyle A\leq U}$, cette relation entraîne

${\displaystyle (9)\qquad Ux=Ux_{KW}.}$

Par exemple de l'assertion d'unicité de (8), il résulte que

${\displaystyle (10)\qquad x\in KW\Rightarrow x_{KW}=x.}$

Pour tous ${\displaystyle g,h\in G,}$

${\displaystyle (11)\qquad g\equiv h{\pmod {K}}\Leftrightarrow (g_{A}=h_{A}\ \mathrm {et} \ g_{W}=h_{W}).}$

Il résulte de (11) que pour tous ${\displaystyle g,h\in G,}$

${\displaystyle (13)\qquad g\equiv h{\pmod {K}}\Rightarrow g_{KW}\equiv h_{KW}{\pmod {K}}.}$

Pour tous ${\displaystyle r,s,x\in G,}$

${\displaystyle (14)\qquad r\equiv s{\pmod {K}}\Rightarrow (rx)_{KW}\equiv (sx)_{KW}{\pmod {K}}}$

${\displaystyle (15}$ et l'implication réciproque est vraie si ${\displaystyle r,s\in KW.}$

Soient x un élément de G et r, s des éléments de G tels que ${\displaystyle r\equiv s{\pmod {K}}}$ ; alors

${\displaystyle (16)\qquad (rx)_{KW}^{-1}(sx)_{KW}=x^{-1}r^{-1}sx.}$

Pour tous ${\displaystyle x,y\in G,}$

${\displaystyle (19)\qquad (yx)_{KW}=(y_{KW}x)_{KW}.}$

Soient R et S deux transversales droites de U dans G. On vérifie facilement que

${\displaystyle \ (21)}$ les conditions suivantes sont équivalentes :

1° ${\displaystyle R\subseteq KS}$

2° ${\displaystyle S\subseteq KR}$

3° ${\displaystyle \ KR=KS}$

4° il existe une numérotation ${\displaystyle r_{1},\ldots r_{n}}$ des éléments de R et une numérotation ${\displaystyle s_{1},\ldots s_{n}}$ des éléments de S telles que, pour tout ${\displaystyle i(1\leq i\leq n),r_{i}\equiv s_{i}{\pmod {K}}}$

5° un élément de R et un élément de S appartiennent à la même classe à droite modulo U si et seulement si ces deux éléments sont congrus modulo K.

Les conditions 1° à 5° définissent une relation d'équivalence entre transversales droites de U dans G (voir par exemple 3°). Désignons par ${\displaystyle {\mathcal {C}}(W)}$ la classe de W selon cette relation d'équivalence. Autrement dit,

${\displaystyle (22)\;{\mathcal {C}}(W)}$ est l’ensemble des transversales droites de U dans G contenues dans KW.

Pour toute transversale droite D de U dans G, posons

${\displaystyle (23)D_{KW}=\{d_{KW}\vert d\in D\},}$

où ${\displaystyle \ d_{KW}}$ est défini comme en (4) en (8).

Alors ${\displaystyle D_{KW}\in {\mathcal {C}}(W).}$

D'après (8), il est clair que

${\displaystyle (24)\;D_{KW}}$ est le seul élément de ${\displaystyle {\mathcal {C}}(W)}$ tel que ${\displaystyle AD=AD_{KW}.}$

D'autre part,

${\displaystyle \ (25)}$ L'application ${\displaystyle d\mapsto d_{KW}}$ de ${\displaystyle D}$ sur ${\displaystyle D_{KW}}$ est une bijection.

Il résulte de (10) que

${\displaystyle (26)\qquad D\subseteq KW\Rightarrow D_{KW}=D.}$

Soient x un élément de G et D une transversale droite de U dans G.

${\displaystyle (27)}$ L'ensemble Dx est lui aussi une transversale droite de U dans G.

Donc, d’après (24),

${\displaystyle \ (28)\qquad (Dx)_{KW}\in {\mathcal {C}}(W).}$

Il résulte de (19) que, pour toute transversale droite D de U dans G et pour tout élément x de G,

${\displaystyle (29)\qquad (Dx)_{KW}=(D_{KW}x)_{KW}.}$

Pour tout élément S de ${\displaystyle {\mathcal {C}}(W)}$ et pour tout élément x de G, posons

${\displaystyle (30)\qquad S^{x}=(Sx)_{KW}.}$

D'après (28),

${\displaystyle (31)\qquad S^{x}\in {\mathcal {C}}(W).}$

Pour tous ${\displaystyle x,y\in G,}$

${\displaystyle \qquad (S^{x})^{y}=(S^{x}y)_{KW}}$

${\displaystyle \qquad (S^{x})^{y}=((Sx)_{KW}y)_{KW},}$

d'où, d’après (29),

${\displaystyle \qquad (S^{x})^{y}=(Sxy)_{KW}}$

${\displaystyle (32)\qquad (S^{x})^{y}=S^{xy}.}$

De plus, ${\displaystyle \ S^{1}=(S1)_{KW}=S_{KW};}$ puisque ${\displaystyle S\subseteq KW,}$ (26) donne ${\displaystyle S_{KW}=S,}$ donc ${\displaystyle S^{1}=S.}$

De ceci et de (32), il résulte que (30) définit une opération à droite de ${\displaystyle G}$ sur ${\displaystyle {\mathcal {C}}(W).}$

Si ${\displaystyle k\in K}$ et ${\displaystyle S\in {\mathcal {C}}(W),}$ alors

${\displaystyle (33)\qquad S^{k}=Sk.}$

Nous allons maintenant définir une relation d'équivalence dans ${\displaystyle {\mathcal {C}}(W)}$ qui nous permettra de passer de l'opération (30) de G sur ${\displaystyle {\mathcal {C}}(W)}$ à une opération de G sur le quotient de ${\displaystyle {\mathcal {C}}(W)}$ par la relation d'équivalence en question.

Pour toute classe à droite X de G modulo U et pour tout élément T de ${\displaystyle {\mathcal {C}}(W)}$, désignons par repr(X, T) le représentant de X dans T, c'est-à-dire l'unique élément de T qui appartient à X.

Si T₁ et T₂ sont deux éléments de ${\displaystyle {\mathcal {C}}(W)}$, repr(X, T₁) et repr(X, T₂) sont congrus modulo K. (Voir (21), 5°.)

Donc

${\displaystyle (34)\qquad \mathrm {repr} (X,T_{1}^{-1})\mathrm {repr} (X,T_{2})\in K.}$

Puisque K est supposé commutatif, nous pouvons définir le produit de n’importe quelle famille finie d'éléments de K. Compte tenu de (34), nous pouvons poser, pour tout couple (T₁, T₂) d'éléments de ${\displaystyle {\mathcal {C}}(W)}$ (et en désignant par G/U l’ensemble des classes à droite modulo U)

${\displaystyle (35)\qquad T_{1}\vert T_{2}=\prod _{X\in G/U}\mathrm {repr} (X,T_{1})^{-1}\mathrm {repr} (X,T_{2})\in K,}$

ce qui peut encore s'écrire

${\displaystyle (36)\qquad T_{1}\vert T_{2}={\underset {Kt_{1}=Kt_{2}}{\underset {(t_{1},t_{2})\in T_{1}\times T_{2}}{\stackrel {}{\prod }}}}t_{1}^{-1}t_{2}\in K.}$

Il résulte de (35) que, pour tous éléments T₁, T₂, T₃ de ${\displaystyle {\mathcal {C}}(W)}$,

${\displaystyle (37)\qquad (T_{1}\vert T_{2})(T_{2}\vert T_{3})=T_{1}\vert T_{3}.}$

En faisant ${\displaystyle T_{1}=T_{2}=T_{3},}$ nous trouvons

${\displaystyle (38)\qquad T\vert T=1}$

pour toute ${\displaystyle T\in {\mathcal {C}}(W).}$ En faisant maintenant ${\displaystyle T_{1}=T_{3}}$ dans (37), nous trouvons, compte tenu de (38),

${\displaystyle (39)\qquad (T_{1}\vert T_{2})(T_{2}\vert T_{1})=1.}$

(On pourrait évidemment démontrer (38) et (39) plus directement.)

Les résultats (37) à (39) entraînent que

${\displaystyle (40)}$ la relation ${\displaystyle T_{1}\vert T_{2}=1}$ est une relation d'équivalence dans ${\displaystyle {\mathcal {C}}(W).}$

Pour tout ${\displaystyle k\in K}$ et toutes ${\displaystyle R,S\in {\mathcal {C}}(W),}$

${\displaystyle (41)\qquad S^{k}\vert R=k^{-\vert G:U\vert }(S\vert R).}$

Pour tout ${\displaystyle x\in G}$ et toutes ${\displaystyle R,S\in {\mathcal {C}}(W),}$

${\displaystyle (44)\qquad R^{x}\vert S^{x}=x^{-1}(R\vert S)x.}$

Il résulte de (44) que, pour tout ${\displaystyle x\in G}$ et toutes ${\displaystyle R,S\in {\mathcal {C}}(W),}$

${\displaystyle (47)\qquad R\vert S=1\Rightarrow R^{x}\vert S^{x}=1.}$

Utilisons maintenant (ce que nous n'avons pas encore fait) l'hypothèse selon laquelle ${\displaystyle \vert K\vert }$ et ${\displaystyle \vert G:U\vert }$ sont premiers entre eux. D'après un exercice de la série Groupes monogènes, ordre d'un élément,

${\displaystyle \ (48)}$ l’application ${\displaystyle k\mapsto k^{\vert G:U\vert }}$ est une permutation de K.

(Puisque K est commutatif, cette permutation est même un automorphisme, mais cela ne nous servira pas.)

Soient R, S deux éléments de ${\displaystyle {\mathcal {C}}(W).}$

D'après (48), il existe un (et un seul) élément ${\displaystyle k_{S,R}}$ de K tel que

${\displaystyle \qquad k_{S,R}^{\vert G:U\vert }=S\vert R.}$

Alors (41) donne

${\displaystyle (49)\qquad S^{k_{S,R}}\vert R=1.}$

La relation (41) montre aussi que si ${\displaystyle k\in K}$, si ${\displaystyle R,S\in {\mathcal {C}}(W)}$, si on a à la fois ${\displaystyle S\vert R=1}$ et ${\displaystyle S^{k}\vert R=1}$, alors ${\displaystyle k^{\vert G:U\vert }=1}$, d'où, d’après (48), ${\displaystyle \ k=1.}$

En particulier, si ${\displaystyle R\in {\mathcal {C}}(W),}$ si ${\displaystyle k\in K,}$

${\displaystyle (50)\qquad R^{k}\vert R=1\Rightarrow k=1.}$

Nous avons vu en (40) que la relation ${\displaystyle T_{1}\vert T_{2}=1}$ est une relation d'équivalence dans ${\displaystyle {\mathcal {C}}(W).}$ Notons ${\displaystyle \sim }$ cette relation d'équivalence, ${\displaystyle {\mathcal {C}}(W)/\sim }$ le quotient de ${\displaystyle {\mathcal {C}}(W)}$ par ${\displaystyle \sim }$ et ${\displaystyle {\tilde {R}}}$ la classe d'un élément ${\displaystyle R}$ de ${\displaystyle {\mathcal {C}}(W)}$ selon ${\displaystyle \sim }$.

La relation (47) revient à dire que si ${\displaystyle x\in G,}$ si ${\displaystyle R,S\in {\mathcal {C}}(W),}$ si ${\displaystyle R\sim S,}$ alors ${\displaystyle R^{x}\sim S^{x}.}$

Il existe donc une (et une seule) application de ${\displaystyle G\times ({\mathcal {C}}(W)/\sim )}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {C}}(W)/\sim }$ qui envoie ${\displaystyle (x,{\tilde {R}})}$ sur ${\displaystyle (R^{x}){\tilde {}}}$ et

${\displaystyle (51)}$ cette application définit une opération à droite de ${\displaystyle G}$ sur ${\displaystyle {\mathcal {C}}(W)/\sim .}$

Soient ${\displaystyle R,S\in {\mathcal {C}}(W).}$ D'après (49),

${\displaystyle \qquad S^{k_{S,R}}\sim R,}$

donc

${\displaystyle (52)}$ K opère transitivement sur ${\displaystyle {\mathcal {C}}(W)/\sim .}$

Soient ${\displaystyle k\in K}$ et ${\displaystyle R\in {\mathcal {C}}(W)}$ ; d’après (50),

${\displaystyle \qquad R^{k}\sim R\Rightarrow k=1,}$

ce qui montre que

${\displaystyle (53)}$ le stabilisateur de ${\displaystyle {\tilde {R}}}$ dans ${\displaystyle K}$ est réduit à l'élément neutre.

De (52) et de (53), il résulte, compte tenu de la forme générale de l'argument de Frattini, que

${\displaystyle (54)}$ le stabilisateur dans G de n’importe quel élément ${\displaystyle {\tilde {R}}}$ de ${\displaystyle {\mathcal {C}}(W)/\sim }$ est un complément de K dans G.

Ceci est démontré pour toute transversale droite W de U dans G. Puisqu’il existe au moins une telle transversale, la partie (a) de l'énoncé est démontrée.

Démonstration

Soient donc ${\displaystyle H_{0}}$ et ${\displaystyle H_{1}}$ deux compléments de K dans G tels que

${\displaystyle \qquad H_{0}\cap U=H_{1}\cap U.}$

Il s'agit de prouver que ${\displaystyle H_{0}}$ et ${\displaystyle H_{1}}$ sont conjugués dans G.

Posons ${\displaystyle A=H_{0}\cap U=H_{1}\cap U.}$

Alors

${\displaystyle (55)}$ A est un complément de K dans U.

Pour le prouver, montrons que, de façon générale,

${\displaystyle (56)}$ si G est un groupe, K et U des sous-groupes de G tels que ${\displaystyle K\leq U\leq G,}$ si T est une transversale droite de K dans G, alors ${\displaystyle T\cap U}$ est une transversale droite de K dans U.

De G = KT résulte ${\displaystyle U\leq KT,}$ d'où (puisque ${\displaystyle K\leq U}$) :

${\displaystyle U\leq K(T\cap U)}$,

${\displaystyle U=K(T\cap U)}$.

D'autre part, la relation ${\displaystyle K\cap T=1}$ entraîne évidemment ${\displaystyle K\cap (T\cap U)=1}$; donc ${\displaystyle T\cap U}$ est une transversale droite de K dans U, ce qui prouve (56).

En appliquant les résultats précédents pour ${\displaystyle T=H_{0},}$ on obtient (55).

Les hypothèses faites dans la démonstration de la partie (a) de l'énoncé sont donc satisfaites.

Une transversale droite de A dans ${\displaystyle H_{0}}$ (resp. ${\displaystyle H_{1}}$) est aussi une transversale droite de U dans G.

Choisissons une transversale droite ${\displaystyle W_{0}}$ de ${\displaystyle A}$ dans ${\displaystyle H_{0}}$.

D'après ce qu'on vient de noter, ${\displaystyle W_{0}}$ est une transversale droite de U dans G et satisfait donc aux hypothèses faites sur W dans la démonstration du point (a) de l'énoncé.

Conformément à la définition (22), désignons par ${\displaystyle {\mathcal {C}}(W_{0})}$ l’ensemble des transversales droites de U dans G contenues dans ${\displaystyle KW_{0}}$.

Soit ${\displaystyle w}$ un élément de ${\displaystyle W_{0}}$. Puisque ${\displaystyle H_{1}}$ est un complément de K dans G, il existe un et un seul ${\displaystyle k_{w}\in K}$ tel que

${\displaystyle (58)\qquad k_{w}w\in H_{1}.}$

Posons

${\displaystyle (59)\qquad W_{1}=\{k_{w}w\vert w\in W_{0},}$

autrement dit

${\displaystyle (60)\qquad W_{1}=KW_{0}\cap H_{1}.}$

Alors

${\displaystyle (61)W_{1}}$ est une transversale droite de A dans ${\displaystyle H_{1}.}$

Il est clair, d’après (59), ou encore d’après (57) et (61), que ${\displaystyle \ W_{1}}$ est une transversale droite de U dans G.

D'après (60), ${\displaystyle W_{1}\subseteq KW_{0}}$, donc

${\displaystyle \qquad W_{1}\in {\mathcal {C}}(W_{0}).}$

D'autre part, d’après (58) et la définition (59) de ${\displaystyle W_{1}}$, il est clair que

${\displaystyle (62)W_{1}}$ est le seul élément de ${\displaystyle {\mathcal {C}}(W_{0})}$ qui est contenu dans ${\displaystyle H_{1}.}$

De même,

${\displaystyle (63)W_{0}}$ est le seul élément de ${\displaystyle {\mathcal {C}}(W_{0})}$ qui est contenu dans ${\displaystyle H_{0}.}$

Soit ${\displaystyle i\in \{0,1\},}$ soit ${\displaystyle D_{i}}$ une transversale droite de U dans G contenue dans ${\displaystyle H_{i}.}$

Si nous définissons ${\displaystyle (D_{i})_{KW_{0}}}$ comme en (23), alors, par définition, ${\displaystyle (D_{i})_{KW_{0}}\in {\mathcal {C}}(W_{0})}$ et, d’après (24),

${\displaystyle \qquad (D_{i})_{KW_{0}}\subseteq AD_{i},}$ d'où, puisque ${\displaystyle A\subseteq H_{i},}$

${\displaystyle \qquad (D_{i})_{KW_{0}}\subseteq H_{i}.}$

Donc les relations (62) et (63) donnent

${\displaystyle (64)\qquad (D_{i})_{KW_{0}}=W_{i}.}$

Soit x un élément de ${\displaystyle H_{i}.}$ D'après (27), ${\displaystyle W_{i}x}$ est une transversale droite de U dans G. Cette transversale est contenue dans ${\displaystyle H_{i}}$, donc nous pouvons faire ${\displaystyle D_{i}=W_{i}x}$ dans (64). Nous trouvons

${\displaystyle \qquad (W_{i}x)_{KW_{0}}=W_{i}.}$

Donc, pour l'opération de G sur ${\displaystyle {\mathcal {C}}(W_{0})/\sim }$ définie comme en (51),

${\displaystyle \qquad {\tilde {W_{i}}}^{x}={\tilde {W_{i}}},}$

donc ${\displaystyle H_{i}}$ fixe l'élément ${\displaystyle {\tilde {W_{i}}}}$, donc

${\displaystyle (65)\qquad H_{i}\leq G_{\tilde {W_{i}}}.}$

D'après (54), ${\displaystyle G_{\tilde {W_{i}}}}$ est un complément de K dans G. Puisque ${\displaystyle H_{i},}$ par hypothèse, est lui-même un complément de K dans G, (65) montre que ${\displaystyle H_{i}}$ et ${\displaystyle G_{\tilde {W_{i}}}}$ sont deux compléments de K dans G en relation d'inclusion, donc, d’après un lemme ci-dessus,

${\displaystyle (66)\qquad H_{i}=G_{\tilde {W_{i}}}.}$

D'après (52), l'action de K, et a fortiori l'action de G, sur ${\displaystyle {\mathcal {C}}(W_{0})/\sim }$ est transitive, donc (voir le chapitre Action de groupe) le stabilisateur de ${\displaystyle {\tilde {W_{0}}}}$ et le stabilisateur de ${\displaystyle {\tilde {W_{1}}}}$ dans G sont conjugués dans G, c'est-à-dire, d’après (66), que ${\displaystyle H_{0}}$ et ${\displaystyle H_{1}}$ sont conjugués dans G, ce qui démontre la partie (b) de l'énoncé.