Rappels de cours
Dans les trois théorèmes suivants, toutes les fonctions seront supposées (outre les hypothèses spécifiques à chacun) continues par morceaux, pour éviter de faire appel à la notion de mesurabilité, plus générale mais peu utile dans les cas concrets. désignera un intervalle réel et une application définie sur et à valeurs dans ou ( peut être infini). On définit
(pour les pour lesquels cette intégrale converge).
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Soit une extrémité (éventuellement infinie) de l'intervalle . Si :
- existe ;
- pour une certaine fonction intégrable sur ,
alors :
- est bien définie sur et .
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Si :
- est continue sur ;
- pour une certaine fonction intégrable sur ,
alors :
- est bien définie et continue sur .
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Si est bien définie sur et si :
- est de classe C1 sur ;
- pour une certaine fonction intégrable sur ,
alors :
- est de classe C1 sur et .
Exercice 2-1
On considère , pour .
- Montrer que est continue (sur ) et que est bien définie sur .
- Pour tout , calculer .
- Pour tout , calculer .
- L'intégrale est-elle convergente ?
- Étudier de même , pour .
- donc .
est continue car c'est une fraction rationnelle (en deux variables) dont le dénominateur ne s'annule pas.
De plus, pour fixé, est intégrable en car (par changement de variable )
.
Donc est bien définie sur . - Par le même calcul,
- .
- Non ( n'est même intégrable ni en , ni en ) : d'après la question 3, ou simplement d'après la question 2.
Sinon, les théorèmes de continuité et d'interversion des limites pour une intégrale à paramètre s'appliqueraient, or :- n'est pas continue en ;
- .
donc est (continue et) intégrable en et en . Ceci permettrait, si l'on n'avait pas déjà calculé , de démontrer que cette fonction est continue sur .
Sur le même thème : pour , on pose et .
Montrer que est de classe C∞ sur mais que .
Par changement de variable , on obtient : donc est C∞ sur .
Mais pour tout , l'intégrale de à de diverge, comme somme d'une intégrale (semi-)convergente et d'une intégrale divergente.
Exercice 2-2
On pose pour tout et pour tout .
- À l'aide du théorème de dérivation pour les intégrales à paramètre, montrer que est de classe C∞ sur et donner une relation entre la suite et la suite des dérivées successives de au point .
- Calculer directement à partir de sa définition, et en déduire l'expression de ses dérivées.
- En déduire .
- Pour tout , est continue sur mais
n'est pas intégrable (en 0) donc
les hypothèses ne sont pas satisaites pour appliquer directement le théorème de dérivation pour .
Appliquons-le alors (pour s'écarter de en lequel ce sup non intégrable est atteint) pour (avec ) :
est (continue et) intégrable sur , ce qui prouve (par récurrence) que
.
Ceci étant vrai pour tout , est bien de classe C∞ sur .
En particulier, . - Par changement de variable ,
donc
. - donc (en remplaçant par )
.
Variante : pour et , on pose
- .
- Montrer que est bien définie et dérivable sur . Calculer sa dérivée.
- En déduire la valeur de .
- Cf. exercice 2-8 ci-dessus. Pour et , notons . L'intégrale converge et pour tout , est de classe C1 sur . De plus, pour tout et tout , , or . Par conséquent, est bien définie et C1 sur la réunion des c'est-à-dire sur , et sur cet ensemble on a : . (Le « garde-fou » était indispensable car sans même calculer la fonction , on peut affirmer que son intégrale de à diverge, sinon on en déduirait que est de classe C1 sur , alors qu'en réalité elle n'est même pas définie en .)
- Soit . Par changement de variable , . On en déduit que , puis .
peut aussi se déduire de par changement de variable, et peut se calculer par récurrence à l'aide d'une IPP (cf. Intégration de Riemann/Exercices/Intégrales impropres#Exercice 5-7 question 1). Il s'agit en fait d'une intégrale de Wallis.
Exercice 2-3
On sait bien que l'intégrale de Dirichlet converge, mais non absolument.
Le but de cet exercice est de retrouver sa valeur en appliquant le théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre à la fonction
- .
- Montrer que est de classe C1 sur et calculer , , puis .
- Montrer que . Pour cela, on est certain de ne pas pouvoir appliquer le théorème d'interversion de avec , car si pour tout (ou au moins tout proche de ) , alors (par passage à la limite) , or n'est pas intégrable en . Par contre, on pourra facilement intervertir avec pour fixé (la question de l'intégrabilité en ne se posant plus). La méthode préconisée ici est de montrer que pour tout :
- ;
- .
- Conclure.
- est de classe C∞ sur ainsi, donc, que sa dérivée partielle par rapport à , .
De plus, pour tout , ces deux fonctions sont majorées en valeur absolue sur par , qui est intégrable sur .
Par conséquent, est (au moins) de classe C1 sur et- , par l'un ou l'autre des deux calculs suivants :
- double intégration par parties :
- simple intégration d'une exponentielle complexe : ;
- , d'où :
- .
- , par l'un ou l'autre des deux calculs suivants :
- .
Pour prouver que , il suffit donc, pour tout , de montrer qu'il existe (indépendant de ) tel que les deux premiers des trois termes de cette somme soient majorés chacun par , puis de montrer qu'une fois fixé un tel , il existe tel que pour , le troisième terme soit également majoré par .- Deux premiers termes :
- par simple intégration d'une fonction à valeurs complexes :
pour tout , et
, d'où
. - ou si l'on préfère vraiment, par une double intégration par parties :
et
, donc
, si bien que
,
et l'on conclut comme par la première méthode.
- par simple intégration d'une fonction à valeurs complexes :
- Troisième terme (pour fixé) : , intégrable sur , donc
.
- Deux premiers termes :
- .
Exercice 2-4
On considère la fonction Gamma d'Euler, définie par
On sait déjà (cf. devoir sur la fonction Gamma et la formule de Stirling) que :
- son domaine de définition est ;
- (pour ) ;
- (pour ).
- Montrer que est de classe C∞ et donner l'expression de pour tout .
- Montrer que et en déduire que s'annule au plus une fois.
- Montrer que s'annule entre 1 et 2.
- Déterminer , , , et donner l'allure du graphe de .
- Calculer , connaissant la valeur de l'intégrale de Gauss ().
![](../../../I/Gamma_function.png.webp)
- Pour tout , la fonction est continue sur . Pour , la fonction est (continue par morceaux et) intégrable sur donc (par récurrence) est au moins de classe Ck sur et .
- donc est strictement croissante. Par conséquent, elle s'annule au plus une fois.
- et donc (théorème de Rolle) s'annule entre 1 et 2.
- donc .
Puisque est strictement croissante sur , sa convexité implique que (ou plus élémentairement : , ou même : ), donc . On en déduit le graphe ci-contre. - .
Exercice 2-5
On définit la fonction bêta par : .
- Montrer que cette intégrale converge si et seulement si les deux réels et sont strictement positifs.
- Montrer que (la définition de est rappelée dans l'exercice précédent). Pour cette question, on admettra le théorème de Fubini car explicitement hors programme en classe de MP.
- En déduire une expression simple de si .
- Démontrer que .
- En déduire que la fonction se prolonge en une fonction holomorphe sur , dont les seuls zéros sont les entiers négatifs ou nuls.
- L'intégrande est continu sur et équivalent à en 0 et à en 1, donc l'intégrale converge si et seulement si .
- .
Soit le changement de variables , dont le jacobien vaut . Alors, par le théorème de Fubini,
. - .
- Pour fixé, les fonctions sont continues, positives et majorées par leur limite simple, la fonction , intégrable sur . Ceci justifie la première égalité. La seconde se déduit de la question précédente par changement de variable : . La troisième est immédiate.
- Le produit infini converge uniformément sur tout disque car pour tout dans ce disque, on a dès que (où désigne le logarithme complexe) et de même, dès que , donc
Exercice 2-6
On pose puis .
- Montrer que l'application est définie et continue sur .
- Montrer qu'elle est de classe C1 sur .
- Calculer .
- À l'aide du changement de variable , montrer que .
- En déduire une expression de .
- Pour tout , est continue sur et .
La fonction positive est intégrable de à car elle est continue sur et , intégrable en et , intégrable en .
Donc est définie et continue sur , et ce pour tout . Par conséquent, elle est définie et continue sur . - est paire donc il suffit de montrer qu'elle est de classe C1 sur .
La fonction est continue pour tout mais est atteint pour et vaut , non intégrable en .
Il faut donc fixer provisoirement pour un « garde-fou » . En calculant, pour fixé, , on trouve :
La fonction positive est intégrable de à car elle est continue sur et , intégrable en .
Donc est de classe C1 sur avec , et ce pour tout . Par conséquent, elle est bien de classe C1 sur . - Soit , différent de (on en aura besoin au cours du calcul).
Par continuité, cette expression de est encore valide pour .
- donc .
- D'après la question 3, il existe une constante telle que . D'après les questions 1 et 4, .
Donc pour tout et par parité, pour tout .
Exercice 2-7
Soient et définies sur par
- .
- Montrer que et sont de classe C1 et calculer leurs dérivées.
- En déduire que est constante. Que vaut cette constante ?
- Déterminer la limite en de puis de , et retrouver ainsi la valeur de l'intégrale de Gauss, .
-
- D'après le théorème fondamental de l'analyse, est de classe C1 et .
- D'après le théorème adhoc sur les intégrales à paramètre, est de classe C1 et .
- Par changement de variable , donc .
Par conséquent, . - D'après le théorème adhoc sur les intégrales à paramètre (ou simplement parce que ), .
On déduit alors de la question précédente que , c'est-à-dire (puisque ) .
Par conséquent, .
Variante : pour , on pose
- .
- Montrer que sur , est bien définie et continue.
- Montrer que est de classe C1 sur .
- Calculer et étudier la limite de en .
- Montrer que pour tout on a .
- Montrer que .
- En déduire que .
- La fonction est continue sur comme quotient de composées de fonctions usuelles dont le dénominateur ne s'annule pas.
En outre pour tout on a .
Or l'intégrale est convergente, donc par le théorème de continuité sous l'intégrale on obtient que est définie et continue sur . - Soit . Montrons que est dérivable sur . Pour tout , l'application est de classe C1 sur .
En outre pour tout on a .
Or l'intégrale est convergente, donc par le théorème de dérivation sous l'intégrale, on obtient que est C1 sur et ce pour tout donc en définitive sur , et que sur cet intervalle,
.
Remarquons que le « garde-fou » était indispensable puisqu'en , n'est pas dérivable. En effet, car avec . - On a
.
Pour tout on a
. - Soit . On a vu que .
On effectue le changement de variable , , et l'on obtient
. - On a alors
.
Dans la première intégrale, on effectue le changement de variables , , ce qui donne bien l'égalité demandée. - D'autre part on a
et donc
.
Exercice 2-8
Toutes les fonctions considérées sont encore supposées continues par morceaux.
1. À l'aide des deux premiers théorèmes des rappels ci-dessus, démontrer la variante suivante du troisième :
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Si :
- il existe tel que soit (absolument) intégrable
- est de classe C1 sur ;
- pour une certaine fonction intégrable sur ,
alors :
- est bien définie et de classe C1 sur et .
2. Démontrer la généralisation suivante, pour :
![](../../../I/Dobry_Artykul-MK.svg.png.webp)
Si :
- est (absolument) intégrable sur ;
- est de classe Ck sur ;
- , intégrable sur ,
alors est bien définie et de classe Ck sur et .
- Remarquons d'abord que les hypothèses suffisent pour que pour tout , soit intégrable (donc bien définie sur ). En effet, d'après le théorème des accroissements finis, .
Fixons et posons, pour tout : . Alors, est dominée par donc d'après le 1er théorème des rappels (Limite), , c'est-à-dire .
De plus, est continue d'après le 2e théorème des rappels (Continuité). - Démontrons le théorème « Classe Ck » par récurrence sur k. Pour k = 0, il s'agit simplement du 2e théorème (Continuité) des rappels. Supposons le théorème « Classe Ck » vrai pour un certain k ≥ 0, et soit une fonction vérifiant les hypothèses du théorème « Classe Ck+1 », en particulier intégrable. En supposant (sans perte de généralité) que l'intervalle est borné, de longueur , on a alors (comme dans la question 1) , intégrable donc (par hypothèse de récurrence) est bien définie et de classe Ck et . On conclut en appliquant le théorème « Classe C1 » à .
Référence : Michel Stainer, « Intégrales dépendant d'un paramètres : démonstrations »
Exercice 2-9
Soient
- .
- Montrer que est bien définie sur et de classe C2 et que .
- Montrer que (pour tout ).
- Déduire des deux points précédents que sur :
- est dérivable et (pour tout ), puis
- est deux fois dérivable et .
- Calculer et montrer que est bornée.
- Déduire des questions 3.2 et 4 l'expression explicite de pour tout .
- Donner les valeurs explicites des deux intégrales suivantes :
- .
- Posons .
Pour tout , est de classe C2 sur , et .
Pour tout , , et sont localement intégrables (car continues) et
sont fonctions seulement de et intégrables (par équivalent en l'infini et critère de Riemann).
est donc bien définie sur et de classe C2, et l'on a
donc
(ce qui prouve que est bien définie sur et continue). - Par intégration par parties,
- Sur :
- est dérivable et (en dérivant l'équation obtenue dans 2 puis en utilisant 1)
, ce qui se simplifie en ; - est dérivable et (en dérivant l'équation obtenue au point précédent puis en utilisant 2)
, autrement dit est deux fois dérivable et .
- est dérivable et (en dérivant l'équation obtenue dans 2 puis en utilisant 1)
- .
- D'après 3.2, pour tout et même (par continuité de en ) pour tout , , pour certains nombres complexes et à déterminer.
D'après 4, et . Donc . - Par parité de et imparité de , et .
Exercice 2-10
On pose
- et .
Montrer que est (au moins) de classe C2 sur et calculer , puis , puis .
Pour tout , est de classe C2 sur , et .
.
et .
D'après le « théorème Classe Ck, hypothèses faibles », est donc de classe C2 sur et
donc (comme )
et (comme )
.
Exercice 2-11
Soit . Montrer de deux façons que :
- en étudiant l'uniformité de la convergence de la suite de fonctions sur les intervalles de la forme avec ;
- en utilisant le théorème de convergence dominée.
- et donc uniformément sur donc donc pour suffisamment grand, et alors, .
- Soit si et . Alors, simplement sur et (intégrable sur le segment) donc par convergence dominée, .
Exercice 2-12
- Justifier la convergence des intégrales et étudier .
- Soient une fonction continue sur et . Étudier .
- Calculer .
- pour tout donc pour presque tout . D'autre part, pour tout , , dont l'intégrale de à converge. Par conséquent, les intégrales sont convergentes et leur limite est .
- pour tout . D'autre part, , fonction constante donc intégrable sur le segment. Donc .
- Quand , tend vers si et vers si . De plus, à partir de , , intégrable. Donc .
Exercice 2-13
L'objectif est de calculer .
Pour , on pose .
- Justifier que est bien définie.
- Montrer que est dérivable et solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre avec second membre.
- En déduire que .
- Calculer .
- Montrer que . En déduire la valeur de .
- Retrouver ainsi la valeur de l'intégrale de Gauss, .
- est continue (donc localement intégrable) sur et pour tout , , dont l'intégrale de à converge.
- pour . Donc est dérivable sur et
, d'où . - Variation de la constante : avec , c.-à-d. .
Donc , ce qui donne bien . - .
- donc et a fortiori, , c.-à-d. (d'après la question 3)
. Ceci équivaut à , soit . - .
Exercice 2-14
Pour , on pose .
- Montrer que est définie et continue sur .
- Montrer que est de classe C2 sur et que .
- En déduire l'expression explicite de puis , puis la limite de en .
- Retrouver directement cette limite.
- est continue (et même C∞) sur pour tout et , dont l'intégrale de à converge. Donc est continue sur .
- est C2 sur et pour tout , . En effet, pour tout (et tout ), est positif et (d'après le théorème des accroissements finis) majoré par , donc , dont l'intégrale de à converge. Cette majoration permet de plus d'affirmer que . Ou plus élémentairement : est positif et majoré par , donc .
De même, et pour tout , . - .
avec , soit , donc . - Pour tout , est croissante donc par convergence monotone,
ou plus élémentairement : .
Or , donc .
Exercice 2-15
Soit .
- Montrer que est de classe C2 et donner les expressions intégrales de et .
- Vérifier que .
- On admet que de même, la fonction
est de classe C2 et vérifie . Quel en est l'intérêt ?
- est même C∞ puisque l'est et qu'on intègre sur un segment.
et .
.- L'intérêt est que forme alors une base du plan vectoriel des solutions sur de . En effet, elle est libre, puisque et (par convergence monotone pour la seconde intégrale dans , ou par minoration explicite : ).
Exercice 2-16
Soient une fonction de classe C2 et la fonction définie par
- .
Montrer que est bien définie et de classe C2 et que
- .
et par IPP :
- .
Exercice 2-17
- Soit . Montrer que l'intégrale est convergente. On note alors sa valeur.
- Montrer que la fonction est de classe C1 (sur ).
- Montrer que (pour tout ).
- En déduire que , connaissant la valeur de l'intégrale de Gauss ().
- Convergence absolue.
- donc est de classe C1 et .
- Par IPP, .
- On résout . Les solutions sont , avec ici .
Exercice 2-18
Pour on pose .
- Montrer que est continue, décroissante et que .
- Montrer que est dérivable sur et calculer sa dérivée.
- Est-elle dérivable à droite en ?
- .
Avec cette deuxième expression on voit que est continue et décroissante. - Puisque pour , on en déduit aussi que pour tout , .
- Non car . En effet, on a (par exemple) :
- d'une part par convergence monotone et parce qu'en , est équivalent à , négatif et dont l'intégrale diverge, ou plus calculatoirement : parce que ;
- d'autre part .
Exercice 2-19
Pour tout l'exercice on fixe . On note
- et .
- Calculer .
- Montrer que est de classe C1 sur et donner une expression pour ne faisant pas intervenir d'intégrale.
- Montrer que .
- .
- Cf. exercice 2-8 ci-dessus. est C1 sur (pour tout ) et , intégrable sur donc est de classe C1 sur et . En particulier et pour tout , .
- .
Exercice 2-20
On pose .
- Montrer que est de classe C1 sur .
- Calculer .
- En déduire .
- est C1 pour tout , et si alors , continue sur donc intégrable.
- Pour tout ,
- donc pour tout , .
Remarque : on a bien si et si , ce qui était prévisible dès le départ.
Exercice 2-21
On pose .
- Montrer que est bien définie sur .
- Pour on pose . Montrer que .
- Montrer que est de classe C2 sur .
- En déduire que est de classe C2 sur et que
- .
- .
- est C2, , , et pour , , dont l'intégrale de à converge. Donc est C2 sur .
- Donc est C2 sur et pour tout , et , si bien que .
Exercice 2-22
Pour tout réel , on note
- .
- Montrer que est bien définie et dérivable sur .
- Déterminer sa limite en .
- est C1 sur et pour tout , et , dont l'intégrale de à converge. Donc est bien définie et C1 sur .
Remarque : une étude de variations permet de remplacer le second majorant, plus finement, par une fonction a fortiori elle aussi intégrable de à : ou inversement, moins finement (mais encore par une fonction intégrable) : , si . - La première de toutes les majorations ci-dessus permet d'affirmer de plus que . Ou plus élémentairement : .