On rappelle que, si f est une fonction réelle des variables ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}$, le gradient de f est la fonction vectorielle : ${\displaystyle \nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}}$

Une interprétation possible du gradient d'une nappe paramétrée est qu’il s'agit d'un vecteur normal à la nappe, c'est-à-dire orthogonal au plan tangent.

Si A est une matrice ou un vecteur, on note ^tA sa transposée. Notamment, on notera : ${\displaystyle ^{t}\nabla f}$ la transposée du gradient de f.

Pour simplifier les notations, on notera : ${\displaystyle \partial _{i}f={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$ Le gradient, par exemple, s'écrira ainsi :

${\displaystyle \nabla f={\begin{pmatrix}\partial _{1}f\\\vdots \\\partial _{n}f\end{pmatrix}}}$.

Soit ${\displaystyle f:\left(x,y,z\right)\mapsto 2x+3y+2xy+5}$. Alors : ${\displaystyle \nabla f={\begin{pmatrix}2+2y\\3+2x\\0\end{pmatrix}}}$.

Soit une fonction ${\displaystyle f:x=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\mapsto {\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{m}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}(x)\\\vdots \\f_{m}(x)\end{pmatrix}}}$, on définit la matrice jacobienne associée à f de la manière suivante :

${\displaystyle Jf={\begin{pmatrix}^{t}\nabla f_{1}\\\vdots \\^{t}\nabla f_{m}\end{pmatrix}}}$

Autrement dit :

${\displaystyle Jf={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}}$.

On suppose maintenant que m = n. On appelle jacobien de f le déterminant de sa matrice jacobienne :

${\displaystyle \operatorname {Jac} f=\det \left(Jf\right)}$.

On prend l'exemple du changement de coordonnées cartésiennes-polaires : ${\displaystyle f:\left(r,\theta \right)\mapsto {\begin{pmatrix}r\cos \theta \\r\sin \theta \end{pmatrix}}}$. Alors la matrice jacobienne de f est :

${\displaystyle Jf={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{pmatrix}}}$

donc le jacobien de f est :

${\displaystyle \operatorname {Jac} f=r}$.

Il existe de nombreuses notations pour le jacobien, qui ont chacune leur intérêt. Mise à part celle utilisée dans cet article, on trouve :

${\displaystyle \left|{\frac {\partial \left(f_{1},\ldots ,f_{m}\right)}{\partial \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}}\right|\qquad {\text{ou}}\qquad \left|{\frac {\mathrm {D} \left(f_{1},\ldots ,f_{m}\right)}{\mathrm {D} \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}}\right|}$

Le jacobien d'une composée de fonctions est le produit des jacobiens individuels.

Le jacobien de la réciproque d'une fonction est l'inverse du jacobien de la fonction.

De manière très informelle : il est possible d'effectuer des changements de variables dans les intégrales multiples. On utilise pour cela le jacobien.

Si l'on passe des variables ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ aux variables ${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{n}}$ par une bijection de classe C¹ d'un ouvert D₂ dans D₁, si f est une fonction continue de D₁ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} }$, alors : ${\displaystyle \iint _{D_{1}}f\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\,\mathrm {d} x_{1}\,\cdots \,\mathrm {d} x_{n}=\iint _{D_{2}}g\left(\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}\right)\cdot \left|{\frac {\mathrm {D} \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}{\mathrm {D} \left(\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}\right)}}\right|\,\mathrm {d} \theta _{1}\,\cdots \,\mathrm {d} \theta _{n}}$

On définit le domaine ${\displaystyle D=\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq R^{2}\}}$. On veut calculer l'aire de ce domaine (il s'agit d'un disque de rayon R) :

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\iint _{D}\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$

On effectue le changement de variable en coordonnées cartésiennes-polaires (cf. plus haut), qui donne :

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\int _{0}^{R}\int _{-\pi }^{\pi }\left|{\frac {\mathrm {D} \left(x,y\right)}{\mathrm {D} \left(r,\theta \right)}}\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta }$

Nous avons montré que ce jacobien valait r, donc :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}&=\int _{-\pi }^{\pi }\int _{0}^{R}r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {R^{2}}{2}}\,\mathrm {d} \theta \\&=2\pi {\frac {R^{2}}{2}}\\&=\pi R^{2}.\end{aligned}}}$

Soit f une fonction dont les dérivées partielles d'ordre un sont toutes définies. Soit M un point dans l’ensemble de définition de f. Alors on a, à l’ordre un, le développement limité suivant : ${\displaystyle \mathbf {f} \left(\mathbf {X} \right)\approx \mathbf {f} \left(\mathbf {M} \right)+\mathbf {J} _{\mathbf {f} }\left(\mathbf {M} \right)\cdot \left(\mathbf {X} -\mathbf {M} \right)}$