Une série de fonctions est une série ${\displaystyle \sum f_{n}}$ à valeurs dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ (l'ensemble des fonctions d'une variable réelle), c'est-à-dire qu'elle associe à chaque entier naturel ${\displaystyle n}$ la fonction ${\displaystyle S_{n}}$ :

Soit ${\displaystyle \sum f_{n}}$ une série de fonctions définies sur ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subset \mathbb {R} }$ .
On dit que ${\displaystyle \sum f_{n}}$ converge simplement (CVS) vers la fonction ${\displaystyle f}$ si, et seulement si, pour chaque réel ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ la série numérique de terme général ${\displaystyle (f_{n}(x))}$ converge vers le réel ${\displaystyle f(x)}$ .
Dans le "langage des ${\displaystyle \varepsilon }$" , cela donne :

${\displaystyle \forall x\in {\mathcal {D}},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists n_{\varepsilon ,x}\in \mathbb {N} ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,\ n\geq n_{\varepsilon ,x}\Rightarrow \left|\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)-f(x)\right|<\varepsilon }$

Soit ${\displaystyle \sum f_{n}}$ une série de fonctions définies sur ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subset \mathbb {R} }$ .

• On dit que ${\displaystyle \sum f_{n}}$ converge uniformément (CVU) vers la fonction ${\displaystyle f}$ si, et seulement si :

.

• Cela équivaut à dire que la suite ${\displaystyle \sup _{x\in {\mathcal {D}}}|\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)-f(x)|}$ converge vers ${\displaystyle 0}$ , c'est-à-dire :

.

Soit ${\displaystyle \sum f_{n}}$ une série de fonctions définies sur ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subset \mathbb {R} }$.

On dit que ${\displaystyle \sum f_{n}}$ converge normalement (CVN) si ${\displaystyle \sum {\|f_{n}\|}_{\infty }}$ converge.

• Toute série de fonctions normalement convergente est uniformément convergente.
• Toute série de fonctions uniformément convergente est simplement convergente.

Soit ${\displaystyle \sum f_{n}{\xrightarrow[{n\to +\infty }]{CVU}}f}$ sur ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subset \mathbb {R} }$ et soit ${\displaystyle a\in {\mathcal {D}}}$ .

On suppose que ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ \lim _{x\to a}f_{n}(x)\in \mathbb {R} }$.
Alors on a :

La limite uniforme d'une série de fonctions continues est continue.

Soit ${\displaystyle \sum f_{n}^{'}{\xrightarrow[{n\to +\infty }]{CVU}}g}$ sur un intervalle réel ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ (bien sûr, les fonctions ${\displaystyle f_{n}}$ sont supposées dérivables sur ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$) et soit ${\displaystyle \sum f_{n}(a){\xrightarrow[{n\to +\infty }]{}}f(a)}$ pour un certain ${\displaystyle a\in {\mathcal {D}}}$.

Alors, sur ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, ${\displaystyle \sum f_{n}{\xrightarrow[{n\to +\infty }]{CVS}}f}$ pour une certaine fonction ${\displaystyle f}$ dérivable et ${\displaystyle f'=g}$, autrement dit :

Soit ${\displaystyle \sum f_{n}{\xrightarrow[{n\to +\infty }]{CVU}}f}$ sur ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$ ; les fonctions ${\displaystyle f_{n}}$ sont supposées continues sur ${\displaystyle [a,b]}$.

Alors :

Soit ${\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ une suite de fonction continues par morceaux d'un intervalle réel ${\displaystyle I}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$. On suppose :

1. la série de fonctions ${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{n}}$ converge simplement sur ${\displaystyle I}$ ;
2. la somme de cette série ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}}$ est continue par morceaux sur ${\displaystyle I}$ ;
3. la série ${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\int _{I}|f_{n}|}$ converge.

Alors ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}}$ est intégrable sur ${\displaystyle I}$ et :

Dans le cas où les ${\displaystyle f_{n}}$ sont toutes positives, on a la même égalité en supposant seulement 1 et 2.