< Intégration de Riemann < Devoir
— Ⅰ —
Soit l'application définie par :
- .
Montrer que :
- .
Quelle est la limite de en ?
— Ⅱ —
1° Montrer que pour tout réel :
- .
2° En déduire que pour tous réels et ,
- .
- En déduire que est dérivable et préciser sa dérivée.
— Ⅲ —
Prouver que :
.
— Ⅳ —
Soit l'application .
Montrer que .
Que peut-on dire de la fonction définie par :
?
En déduire la valeur de .
Corrigé
Ⅰ donc .
Ⅱ 1° D'après la formule de Taylor-Lagrange, il existe un réel compris entre et tel que
- .
- Puisque , .
- 2° .
- D'après la question précédente, cette intégrale est positive et majorée par
- .
- En divisant par pour puis en faisant tendre vers , on en déduit par encadrement que est dérivable en tout réel et
- .
- D'après la question précédente, cette intégrale est positive et majorée par
Ⅳ D'après Ⅱ et Ⅲ, (on aurait pu calculer plus directement la dérivée de – sans passer par celle de – en dérivant sous le signe d'intégration).
- Par conséquent, donc est constante, c'est-à-dire :
- donc (d'après Ⅰ)
- ,
- c'est-à-dire :
- .
Pour une autre méthode, voir cet exercice sur les intégrales doubles.
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