Il s'agit de démontrer que cette application (linéaire) de ${\displaystyle \operatorname {L} (E,F)}$ dans ${\displaystyle F^{I}}$ est bijective, c'est-à-dire que pour toute famille ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ de vecteurs de ${\displaystyle F}$, il existe une unique application linéaire ${\displaystyle u:E\to F}$ telle que ${\displaystyle \forall i\in I\quad u(e_{i})=f_{i}}$.

• Unicité. Soit ${\displaystyle u}$ une telle application. Pour tout vecteur ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle E}$, si ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ désigne la famille presque nulle de ses coordonnées dans la base ${\displaystyle (e_{i})_{i\in I}}$, on a (par linéarité de ${\displaystyle u}$) :
  ${\displaystyle u(x)=u\left(\sum _{i\in I}x_{i}e_{i}\right)=\sum _{i\in I}x_{i}u(e_{i})=\sum _{i\in I}x_{i}f_{i}}$,
  ce qui détermine complètement ${\displaystyle u}$.
• Existence. Soit ${\displaystyle u:E\to F}$ définie en chaque vecteur ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle E}$ par la formule ci-dessus. Pour tout indice ${\displaystyle i}$, en appliquant cette formule à ${\displaystyle x=e_{i}}$, on trouve bien ${\displaystyle u(e_{i})=f_{i}}$. D'autre part, ${\displaystyle u}$ est bien linéaire car pour tous vecteurs ${\displaystyle x,y}$ de ${\displaystyle E}$, de coordonnées ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I},(y_{i})_{i\in I}}$ dans ${\displaystyle (e_{i})_{i\in I}}$, et pour tout scalaire ${\displaystyle \lambda }$, la définition de ${\displaystyle u}$ donne :
  ${\displaystyle u(\lambda x+y)=u\left(\lambda \sum _{i\in I}x_{i}e_{i}+\sum _{i\in I}y_{i}e_{i}\right)=u\left(\sum _{i\in I}(\lambda x_{i}+y_{i})e_{i}\right)}$

  ${\displaystyle =\sum _{i\in I}(\lambda x_{i}+y_{i})f_{i}=\lambda \left(\sum _{i\in I}x_{i}f_{i}\right)+\sum _{i\in I}y_{i}f_{i}=\lambda u(x)+u(y)}$.

• Les assertions concernant la surjectivité viennent simplement du fait que pour toute famille ${\displaystyle (e_{j})_{j\in J}}$ qui engendre ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle \operatorname {Vect} \left(u(e_{j})\right)_{j\in J}=u\left(\operatorname {Vect} \left(e_{j}\right)_{j\in J}\right)=u(E)=\operatorname {Im} u}$.
• Supposons ${\displaystyle u}$ injective et ${\displaystyle (e_{j})_{j\in J}}$ libre. Alors, pour toute famille presque nulle ${\displaystyle (\lambda _{j})_{j\in J}}$ de scalaires, ${\displaystyle \sum _{j}\lambda _{j}u(e_{j})=0\Rightarrow u\left(\sum _{j}\lambda _{j}e_{j}\right)=0\Rightarrow \sum _{j}\lambda _{j}e_{j}=0\Rightarrow \forall j\in J\quad \lambda _{j}=0}$, ce qui prouve que ${\displaystyle \left(u(e_{j})\right)_{j\in J}}$ est libre.
• Supposons maintenant qu'il existe une base ${\displaystyle (e_{i})_{i\in I}}$ de ${\displaystyle E}$ dont l'image par ${\displaystyle u}$ est libre. Alors, pour tout ${\displaystyle x\in E}$, de coordonnées ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ dans cette base, ${\displaystyle x\in \operatorname {Ker} u\Rightarrow u\left(\sum _{i}x_{i}e_{i}\right)=0\Rightarrow \sum _{i}x_{i}u(e_{i})=0\Rightarrow \forall i\in I\quad x_{i}=0\Rightarrow x=0}$, donc ${\displaystyle \operatorname {Ker} u=\{0\}}$, ce qui prouve que ${\displaystyle u}$ est injective.

${\displaystyle (\operatorname {L} (E),+,\cdot )}$ est un ${\displaystyle K}$-espace vectoriel et ${\displaystyle \circ$ :\operatorname {L} (E)\times \operatorname {L} (E)\to \operatorname {L} (E)} est bilinéaire (et bien sûr associative), donc ${\displaystyle (\operatorname {L} (E),+,\cdot ,\circ )}$ est une ${\displaystyle K}$-algèbre associative. De plus, ${\displaystyle \operatorname {Id} _{E}}$ est neutre pour ${\displaystyle \circ }$.