Validité d'une proposition
Définitions
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Une proposition est dite valide ou tautologique si et seulement si elle est vraie en toutes circonstances.
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Pour vérifier qu'une proposition est valide,
- on effectue une analyse sémantique (arbre de vérité, arbre de Quine)
- si l’on obtient :
- que des V à la fin du processus, la formule est valide; c’est une tautologie.
- un F (au moins), la formule n’est pas valide; ce n’est pas une tautologie.
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Une proposition est dite antinomique si et seulement si elle est fausse en toutes circonstances.
C'est le cas lorsque l’on obtient que des F sur un arbre de vérité Une antinomie est la négation d'une tautologie, et réciproquement.
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Les propositions qui sont parfois vraies, parfois fausses sont appelées propositions contingentes
C'est le cas pour la plupart des propositions logiques.
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La valeur de vérité d'une formule valide ou antinomique ne dépend pas de la valeur de vérité des atomes qui les constituent.
Propriétés
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Une antinomie implique n’importe quelle autre propriété
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Soit A une antinomie, B une proposition quelconque, on peut dire que est valide : Son antécédent est toujours faux.
Donc on peut aussi dire qu'A implique B. (voir chapitre sur l’Implication)
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Une antinomie n'est impliquée que par des antinomies
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Une tautologie n'implique que des tautologies
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Une tautologie est impliquée par n’importe quelle proposition
Liste non exhaustive de propositions valides
- ⇒ (principe du tiers-exclu)
- ⇒ (principe de non-contradiction)
- ⇒ (modus tollens)
- ⇒ (modus ponens)
- ⇒ (principe de détachement)
- ⇒ (transitivité de la conditionnalité)
- ⇒ (Lois de De Morgan 1)
- ⇒ (Lois de De Morgan 2)
- ⇒ (Loi de contraposition)