Soient ${\displaystyle K}$ un corps et ${\displaystyle A}$ un ensemble muni de trois lois, ${\displaystyle +,\ast :A\times A\to A}$ et ${\displaystyle \cdot :K\times A\to A}$.

${\displaystyle A}$ est une ${\displaystyle K}$-algèbre (associative) signifie :

• ${\displaystyle (A,+,\ast )}$ est un anneau ;
• ${\displaystyle (A,+,\cdot )}$ est un ${\displaystyle K}$-espace vectoriel ;
• de plus, ${\displaystyle \forall \lambda \in K\quad \forall (x,y)\in A^{2}\quad \lambda \cdot \left(x\ast y\right)=\left(\lambda \cdot x\right)\ast y=x\ast \left(\lambda \cdot y\right)}$.

Ou encore : ${\displaystyle (A,+,\cdot )}$ est un ${\displaystyle K}$-espace vectoriel et ${\displaystyle \ast }$ est bilinéaire et associative.

• ${\displaystyle K\left[X\right]}$ (algèbre des polynômes) ;
• ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}\left(K\right)}$ (algèbre (non commutative) des matrices carrées d'ordre ${\displaystyle n}$) ;
• ${\displaystyle \operatorname {L} \left(E\right)}$ (algèbre des endomorphismes d'un espace vectoriel ${\displaystyle E}$).