Nombre premier de Sophie Germain

Un nombre premier G est appelé nombre premier de Sophie Germain si 2G + 1 est aussi un nombre premier, qui est alors appelé nombre premier sûr et noté S dans ce qui suit.

Un corollaire du théorème de Sophie Germain est que pour ces nombres premiers, un cas particulier du dernier théorème de Fermat (le « premier cas ») est vrai, c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'entiers x, y, z tous trois non divisibles par G tels que x^G + y^G = z^G.

Il est conjecturé qu'il existe une infinité de nombres premiers de Sophie Germain ; cependant, comme pour la conjecture des nombres premiers jumeaux, cela n'a pour le moment pas été démontré.

Listes de nombres premiers de Sophie Germain

Les quarante-cinq premiers nombres premiers de Sophie Germain sont (voir suite A005384 de l'OEIS) :

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1 013, 1 019, 1 031, 1 049, 1 103, 1 223, 1 229 et 1 289.

Ils sont classés dans les deux tableaux ci-dessous, ordonnés sous la forme G_i inscrite en gras sous leur occurrence dans la liste complète des nombres premiers p, associés à leur nombre premier sûr noté S_i = 2G_i + 1 dans la case immédiatement au-dessous.

Nombres premiers de Sophie Germain compris entre 0 et 127

Les seize nombres premiers de Sophie Germain G compris entre 2 et 127 sont présentés dans le tableau 1 ci-dessous. À partir de 131, les nombres premiers ordinaires p intermédiaires ne sont plus indiqués.

Tableau 1 : Tous les nombres premiers p compris entre 0 et 127, dont les premiers de Sophie Germain G ; leurs premiers sûrs résultants S = 2G + 1.
décades d'entiers n	première décade	deuxième décade	troisième décade	quatrième décade	cinquième décade	sixième décade	septième décade	huitième décade	neuvième décade	dixième décade	onzième décade	douzième décade	treizième décade
entiers n =	00 à 09	10 à 19	20 à 29	30 à 39	40 à 49	50 à 59	60 à 69	70 à 79	80 à 89	90 à 99	100 à 109	110 à 119	120 à 127
premiers dont G_i et S_i	-[n 1]	11 G₄ et S₃	23 G₅ et S₄	31	41 G₇	53 G₈	61	71	83 G₉ et S₇	97	101	113 G₁₁	127
S	-[n 1]	S₄=23	S₅=47	-	S₇=83	S₈=107	-	-	S₉=167	-	-	S₁₁=227	-
premiers dont G_i et S_i	-[n 2]	13	29 G₆	37	43	59 S₆	67	73	89 G₁₀		103		(131) (G₁₂)
S	-[n 2]	-	S₆=59	-	-	-	-	-	S₁₀=179		-		(S₁₂=263)
premiers dont G_i et S_i	2 G₁	17			47 S₅			79			107 S₈		(173) (G₁₃)
S	S₁=5	-			-			-			-		(S₁₃=347)
premiers dont G_i et S_i	3 G₂	19									109		(179) (S₁₀ et G₁₄)
S	S₂=7	-									-		(S₁₄=359)
premiers dont G_i et S_i	5 G₃ et S₁												(191) (G₁₅)
S	S₃=11												(S₁₅=383)
premiers dont G_i et S_i	7 S₂												(233) (G₁₆)
S	-												(S₁₆=467)
sous-totaux des p, G_i, S_i, par décade	4 p 3 G 2 S	4 p 1 G 1 S	2 p 2 G 1 S	2 p 0 G 0 S	3 p 1 G 1 S	2 p 1 G 1 S	2 p 0 G 0 S	3 p 0 G 0 S	2 p 2 G 1 S	1 p 0 G 0 S	4 p 0 G 1 S	1 p 1 G 0 S	1 p 0 G 0 S
Totaux et ratios A	- A1 - 25 soit 25 % de nombres premiers p parmi les 100 entiers n compris entre 0 et 99, à comparer à : 10 soit 10 % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 100 entiers n compris entre 0 et 99. 7 soit 7 % de nombres premiers sûrs S parmi les 100 entiers n compris entre 0 et 99. - A2 - 46 soit 23 % de nombres premiers « p » parmi les 200 entiers n compris entre 0 et 199, à comparer à : 15 soit 7,5 % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 200 entiers « n » compris entre 0 et 199. 10 soit 5 % de nombres premiers sûrs S dilués parmi les 200 entiers n compris entre 0 et 199.
Totaux et ratios B	- B1 - 31 soit 24 % de nombres premiers p parmi les 128 entiers n compris entre 0 et 127, à comparer à : 11 soit 8,6 % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 128 entiers n compris entre 0 et 127. 8 soit 6,25 % de nombres premiers sûrs S parmi les 128 entiers « n » compris entre 0 et 127. - B2 - 54 soit 21 % de nombres premiers p parmi les 256 entiers n compris entre 0 et 255, à comparer à : 18 soit 7 % de nombres premiers de Sophie Germain « G » parmi les 256 entiers n compris entre 0 et 255[n 3]. 11 soit 4,3 % de nombres premiers sûrs S dilués parmi les 256 entiers n compris entre 0 et 255.

Le nombre 0 n'est pas premier. Par conséquent 1 = 2 × 0 + 1 n'est pas un nombre premier sûr.
Le nombre 1 n'est pas premier. Par conséquent 3 = 2 × 1 + 1 n'est pas un nombre premier sûr.
Les deux nombres premiers de Sophie Germain complémentaires inférieurs à 256 qui n'apparaissent pas dans le tableau sont : G₁₇ = 239 et G₁₈ = 251.

Nombres premiers de Sophie Germain compris entre 0 et 1 023

Les nombres premiers de Sophie Germain G compris entre 2 et 1 023 sont présentés dans le tableau 2 ci-dessous. À partir de 1 031, les nombres premiers ordinaires p intermédiaires ne sont plus indiqués.

Tableau 2 : Tous les nombres premiers p compris entre 0 et 1023, dont les premiers de Sophie Germain G ; leurs premiers sûrs résultants S = 2G + 1.
centaines d'entiers n		premier cent			deuxième cent			troisième cent		quatrième cent		cinquième cent		sixième cent		septième cent		huitième cent		neuvième cent		dixième cent		+ 23 → 1023
Typ	Qté	00	10	20	00	10	20	00	10	00	10	00	10	00	10	00	10	00	10	00	10	00	10	00
p G_i S_i	01	2 G₁	31	73	101	151	199	211	269	307	367	401	461	503 S₁₈	577	601	659 G₃₀	701	769	809 G₃₅	863 S₂₃	907	977	1009
S		S₁=5	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	S₃₀=1319	-	-	S₃₅=1619	-	-	-	-
p G_i S_i	02	3 G₂	37	79	103	157		223	271	311	373	409	463	509 G₂₆	587 S₂₀	607	661	709	773	811	877	911 G₃₆	983 S₂₅	1013 *G₃₈*
S		S₂=7	-	-	-	-		-	-	-	-	-	-	S₂₆=1019	-	-	-	-	-	-	-	S₃₆=1823	-	S₃₈=2027
p G_i S_i	03	5 G₃ S₁	41 G₇	83 G₉ S₇	107 S₈	163		227 S₁₁	277	313	379	419 G₂₂	467 S₁₆	521	593 G₂₇	613	673	719 G₃₂ S₂₁	787	821	881	919	991	1019 *G₃₉* S₂₆
S		S₃=11	S₇=83	S₉=167	-	-		-	-	-	-	S₂₂=839	-	-	S₂₇=1187	-	-	S₃₂=1439	-	-	-	-	-	S₃₉=2039
p G_i S_i	04	7 S₂	43	89 G₁₀	109	167 S₉		229	281 G₁₉	317	383 S₁₅	421	479 S₁₇	523	599	617	677	727	797	823	883	929	997	1021
S		-	-	S₁₀=179	-	-		-	S₁₉=563	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
p G_i S_i	05	11 G₄ S₃	47 S₅	97	113 G₁₁	173 G₁₃		233 G₁₆	283	331	389	431 G₂₃	487	541		619	683 G₃₁	733		827	887 S₂₄	937		(1031) (G₄₀)
S		S₄=23	-	-	S₁₁=227	S₁₃=347		S₁₆=467	-	-	-	S₂₃=863	-	-		-	S₃₁=1367	-		-	-	-		*(S₄₀= 2063)*
p G_i S_i	06	13	53 G₈		127	179 G₁₄ S₁₀		239 G₁₇	293 G₂₀	337	397	433	491 G₂₅	547		631	691	739		829		941		(1049) *(G₄₁)*
S		-	S₈=107		-	S₁₄=359		S₁₇=479	S₂₀=587	-	-	-	S₂₅=983	-		-	-	-		-		-		*(S₄₁= 2099)*
p G_i S_i	07	17	59 S₆		131 G₁₂	181		241		347 S₁₃		439	499	557		641 G₂₈		743 G₃₃		839 S₂₂		947		(1103) *(G₄₂)*
S		-	-		S₁₂=263	-		-		-		-	-	-		S₂₈=1283		S₃₃=1487		-		-		*(S₄₂= 2207)*
p G_i S_i	08	19	61		137	191 G₁₅		251 G₁₈		349		443 G₂₄		563 S₁₉		643		751		853		953 G₃₇		(1223) *(G₄₃)*
S		-	-		-	S₁₅=383		S₁₈=503		-		S₂₄=887		-		-		-		-		S₃₇=1907		*(S₄₃= 2447)*
p G_i S_i	09	23 G₅ S₄	67		139	193		257		353		449		569		647		757		857		967		(1229) *(G₄₄)*
S		S₅=47	-		-	-		-		-		-		-		-		-		-		-		*(S₄₄= 2459)*
p G_i S_i	10	29 G₆	71		149	197		263 S₁₂		359 G₂₁ S₁₄		457		571		653 G₂₉		761 G₃₄		859		971		(1289) *(G₄₅)*
S		S₆=59	-		-	-		-		S₂₁=759		-		-		S₂₉=1307		S₃₄=1523		-		-		*(S₄₅= 2579)*
ss-totaux et ratios par cent		25 p → 25 % 10 G → 10 % 7 S → 7 %			21 p → 21 % 5 G → 5 % 3 S → 3 %			16 p → 16 % 5 G → 5 % 2 S → 2 %		16 p → 16 % 1 G → 1 % 3 S → 3 %		17 p → 17 % 4 G → 4 % 2 S → 2 %		14 p → 14 % 2 G → 2 % 3 S → 3 %		16 p → 16 % 4 G → 4 % 0 S → 0 %		14 p → 14 % 3 G → 3 % 1 S → 1 %		15 p → 15 % 1 G → 1 % 3 S → 3 %		14 p → 14 % 2 G → 2 % 1 S → 1 %		4 p 2 G 1 S
Totaux et ratios A		- A1 - 168 soit 16,8 % de nombres premiers p parmi les 1 000 entiers n compris entre 0 et 999, à comparer à : 37 soit 3,70 % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 1 000 entiers n compris entre 0 et 999. 25 soit 2,50 % de nombres premiers sûrs S parmi les 1000 entiers n compris entre 0 et 999. - A2 - 303 soit 15,2 % de nombres premiers p parmi les 2 000 entiers n compris entre 0 et 1 999, à comparer à : ? soit ? % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 2 000 entiers n compris entre 0 et 1 999. 37 soit 1,85 % de nombres premiers sûrs S dilués parmi les 2 000 entiers n compris entre 0 et 1 999.
Totaux et ratios B		- B1 - 172 soit 16,8 % de nombres premiers p parmi les 1 024 entiers n compris entre 0 et 1 023, à comparer à : 39 soit 3,81 % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 1024 entiers n compris entre 0 et 1023. 26 soit 2,54 % de nombres premiers sûrs S parmi les 1024 entiers n compris entre 0 et 1 023. - B2 - 309 soit 15,1 % de nombres premiers p parmi les 2 048 entiers n compris entre 0 et 2 047, à comparer à : ? soit ? % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 2 048 entiers n compris entre 0 et 2 047. 39 soit 1,90 % de nombres premiers sûrs S dilués parmi les 2 048 entiers n compris entre 0 et 2 047.

Des premières relations élémentaires entre nombres de Sophie Germain

En excluant les premiers nombres de Sophie Germain, tous les nombres de Sophie Germain sont de la forme 11+30n ou 23+30n ou 29+30n où n est un entier. Ceci résulte de l'étude du groupe des unités de Z/30Z. Ce type de relation, qu'on peut généraliser, est utile pour limiter l'étude des cas possibles dans le cadre d'une recherche des nombres de Sophie Germain par des ordinateurs, par exemple.

Quantité de nombres premiers de Sophie Germain

Une estimation heuristique pour la quantité de nombres premiers de Sophie Germain inférieurs à n est 2C₂ n / (ln n)² où C₂ est la constante des nombres premiers jumeaux, approximativement égale à 0,660161. Pour n = 10⁴, cette estimation prédit 156 nombres premiers de Sophie Germain, qui est de 20 % d'erreur comparé à la valeur exacte de 190 ci-dessus. Pour n = 10⁷, l'estimation prédit 50 822, qui est d'un écart de 10 % par rapport à la valeur exacte de 56 032.

Chaîne de Cunningham

Une suite {p, 2p + 1, 2(2p + 1) + 1, ...} de nombres premiers de Sophie Germain est appelée une chaîne de Cunningham de première espèce. Chaque terme d'une telle suite, à l'exception du premier et du dernier, est à la fois un nombre premier de Sophie Germain et un nombre premier sûr. Le premier est un nombre de Sophie Germain, le dernier un nombre premier sûr.

Exemple d'application

Soit $p$ un nombre premier de la forme $p=4k+3$ . Alors $p$ est un nombre premier de Sophie Germain si et seulement si le nombre de Mersenne $M_{p}=2^{p}-1$ est un nombre composé dont $2p+1$ est un diviseur[1]. Ce théorème dû à Euler[1] peut être utilisé comme test de primalité[1]; par exemple 83 est premier (et 83 = 4 × 20 + 3) de même que 167 = 2 × 83 + 1. Par conséquent $M_{83}=2^{83}-1$ est divisible par 167 et n'est donc pas premier.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sophie Germain prime » (voir la liste des auteurs).

G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par François Sauvageot, préf. Catherine Goldstein), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »] [détail de l’édition], chapitre 6 (« Le théorème de Fermat et ses conséquences »), section 6.15.

Voir aussi

Article connexe

Conjecture de Dickson

Lien externe

« Nombres - Curiosités, théorie et usages : Nombres premiers de Sophie Germain », sur villemin.gerard.free.fr

Arithmétique et théorie des nombres

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[0nonpremier-1] Le nombre 0 n'est pas premier. Par conséquent 1 = 2 × 0 + 1 n'est pas un nombre premier sûr.

[1nonpremier-2] Le nombre 1 n'est pas premier. Par conséquent 3 = 2 × 1 + 1 n'est pas un nombre premier sûr.

[3] Les deux nombres premiers de Sophie Germain complémentaires inférieurs à 256 qui n'apparaissent pas dans le tableau sont : G₁₇ = 239 et G₁₈ = 251.

[HW-4] G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par François Sauvageot, préf. Catherine Goldstein), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »] [détail de l’édition], chapitre 6 (« Le théorème de Fermat et ses conséquences »), section 6.15.