Loi du zéro-un de Kolmogorov

En théorie des probabilités, la loi du zéro-un de Kolmogorov est un théorème affirmant que tout événement dont la réalisation dépend d’une suite de variables aléatoires indépendantes mais ne dépend d’aucun sous-ensemble fini de ces variables est soit presque sûrement réalisé, soit presque sûrement non réalisé, c’est-à-dire que sa probabilité est de 0 ou 1.

De tels événements sont appelés événement de queue[1]^,[2] et forment un ensemble nommé tribu asymptotique. Le théorème se reformule donc sous la forme suivante :

Théorème — La tribu asymptotique associée à une suite de variables aléatoires indépendantes sous une probabilité $P$ est $P$ -triviale.

Le paradoxe du singe savant, selon lequel un singe tapant au hasard sur une machine à écrire écrira presque sûrement n’importe quel texte donné est un exemple d’application de la loi du zéro-un de Kolmogorov.

La loi de Kolmogorov s'avère souvent très utile pour calculer des probabilités, mais, de façon surprenante, il arrive aussi parfois qu'après avoir réduit (aisément) l'ensemble des valeurs possibles d'une probabilité à {0,1}, à l'aide de la loi de Kolmogorov, il soit ensuite difficile de déterminer laquelle de ces deux valeurs est la bonne.

Dénomination

À la première publication du théorème, Kolmogorov lui donne le nom « Null- oder Eins-Gesetz[3] », traduit en anglais par « zero-or-one theorem[4] ». On trouve aujourd’hui dans la littérature les appellations « loi zéro-un[5] » ou, très rarement, « loi du zéro ou du un[6] ». Les noms du théorème en anglais et en allemand se sont simplifiés de la même façon.

L’ajout « de Kolmogorov » est fréquemment fait pour distinguer ce théorème de la loi du zéro-un de Borel (présentant les mêmes variations de nommage), les deux lois étant liées et parfois présentées ensemble[7].

Historique

Publication des Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Si les probabilités constituent un objet d’études des mathématiciens depuis les travaux de Girolamo Cardano, Blaise Pascal et Pierre de Fermat au XVII^e siècle, elles relèvent alors, selon Jean Dieudonné, du « mélange de raisonnements d’allure mathématique et de considérations plus ou moins intuitives[8] ». Au fil des siècles, cette approche élémentaire se révèle fructueuse et est d’ailleurs toujours enseignée dans le secondaire ; mais elle atteint ses premières limites au début du XX^e siècle : ainsi, le développement de la physique statistique par Ludwig Boltzmann requiert des résultats mathématiques solides et justifie l’énonciation du sixième problème de Hilbert en 1900. Le développement de la mécanique quantique durant la première moitié du siècle vient encore accroître le rôle des probabilités en physique, et par conséquent le besoin de rigueur mathématique.

En 1933, Kolmogorov publie son traité Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (« Fondements de la théorie des probabilités ») en allemand et apporte une réponse partielle au problème. Il propose une axiomatisation de la théorie des probabilités en se basant sur les travaux réalisés par les Français Émile Borel et Henri Lebesgue trente ans plus tôt : lois de probabilités, variables aléatoires et événements sont redéfinis en termes de mesures, fonctions et tribus. Si le corps de l’ouvrage ne comprend aucune démonstration de résultat qui n’ait déjà été énoncé, l’un des grands succès de cette nouvelle théorie est la première preuve de la loi forte des grands nombres annoncée dans les dernières pages, mais non encore publiée[9], et objet de recherches depuis Borel. Ce théorème établit en particulier que la probabilité que la suite des moyennes arithmétiques des n premiers éléments d’une suite de variables aléatoires réelles intégrables indépendantes de même loi converge vers un réel fixé prend la valeur 1 si ce réel est l’espérance commune des variables aléatoire, et 0 dans tous les autres cas[10].

Un autre résultat énoncé concerne la convergence des séries de variables aléatoires : Kolmogorov constate qu’une telle série, dès lors que ses termes sont indépendants, converge avec probabilité 0 ou 1 et propose des conditions suffisantes pour calculer cette probabilité[11]. Enfin, il connaît le résultat, publié par Borel en 1909[12] et aujourd’hui connu en tant que « loi du zéro-un de Borel » affirmant que la limite supérieure d’une suite d’événements indépendants a probabilité 0 ou 1, et proposant une condition nécessaire et suffisante portant sur la convergence de la série des probabilités de ces événements pour se trouver dans l’un ou l’autre des cas — ce résultat est notamment utilisé pour la démonstration originelle de la loi forte des grands nombres.

Énoncé originel du résultat

Se basant sur ces constats, Kolmogorov énonce et prouve en annexe à son manuel un résultat général incluant tous les cas précités. Cet énoncé de 1933 est exprimé sous une forme légèrement différente de celle aujourd’hui enseignée. L’énoncé et la démonstration supposent que l’on travaille dans un espace probabilisé $(Ω, ℱ, P)$

L’on définit pour cela les fonctions de Baire : il s’agit des fonctions obtenues par passages à la limite ponctuelle successifs (récurrence transfinie) à partir des polynômes[13]^,[14].

Théorème — Soit $X := (X n) n \in N$ une suite de variables aléatoires à valeurs dans $R$ , $f$ une fonction de Baire définie sur $R N$ telle que l’événement ${f (X) = 0}$ ne dépende d’aucune sous-suite finie de la forme $(X i) 0⩽ i ⩽ n$ pour $n \in N$ [15]. Alors ${f (X) = 0}$ a pour probabilité 0 ou 1.

Les hypothèses de ce théorème sont en particulier vérifiées[16] si l’on suppose les variables $(X n) n \in N$ mutuellement indépendantes, et si $f$ ne dépend que d’un nombre fini de ses paramètres, c’est-à-dire si $f (x) = f (y)$ dès lors que $x$ et $y$ sont deux suites réelles prenant les mêmes valeurs sauf en un nombre fini d’indices.

Ébauche de la démonstration originelle[17] — Notons $A$ l’événement en question, et $ℜ$ l’ensemble des parties de $R N$ définies par des relations n’impliquant qu’un nombre fini des variables aléatoires $(X n) n \in N$ [18]^,[19]. L’hypothèse du théorème se réécrit : $\forall B \in ℜ$ , $P B (A) = P (A)$ .

$A \in B ℜ$ [20]. Si $P (A) > 0$ , alors $P A$ est définie et coïncide avec $P$ sur $ℜ$ d’après la formule de Bayes, donc sur $B ℜ$ par unicité du prolongement de ces mesures[21]. En particulier, $P A (A) = P (A)$ , donc $P (A) = 1$ , ce qui permet de conclure.

Tribu asymptotique

Tribu asymptotique d'une suite de tribus

Les événements asymptotiques ou événements queue sont définis comme l’ensemble des éléments contenus dans la tribu asymptotique (ou tribu queue) associée à une suite de tribus.

Pour ${\mathcal {C}}$ un ensemble de parties de $\Omega$ , on note $\sigma ({\mathcal {C}})$ la tribu engendrée par ${\mathcal {C}}$ .

Soit $\Omega$ un univers, soit $({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ une suite de tribus sur $\Omega$ (les éléments des ${\mathcal {F}}_{n}$ sont des parties de $\Omega$ ). La tribu asymptotique est définie comme : ${\mathcal {F}}_{\infty }=\bigcap _{n\in \mathbf {N} }\sigma \left(\bigcup _{k\geq n}{\mathcal {F}}_{k}\right)$

De façon plus informelle, il s’agit des événements de $\Omega$ dont la réalisation est déterminée par les événements des ${\mathcal {F}}_{n}$ , mais pas par un événement d'un ${\mathcal {F}}_{k}$ particulier.

Tribu asymptotique d'une suite de variables aléatoires

Soit $\Omega$ un univers. Pour $n\in \mathbf {N}$ , soit $(E_{n},{\mathcal {E}}_{n})$ un espace mesurable et $X_{n}:\Omega \to E_{n}$ une application.

Alors la tribu asymptotique de la suite $(X_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ est définie comme la tribu asymptotique de $(\sigma (X_{n}))_{n\in \mathbb {N} }$ (on note $\sigma (X_{n})=\{X_{n}^{-1}(A),A\in {\mathcal {E}}_{n}\}$ la tribu engendrée par $X_{n}$ ).

De façon plus informelle, il s’agit des événements de $\Omega$ dont la réalisation est déterminée par les $X_{n}$ , mais pas par un $X_{k}$ particulier.

Énoncé moderne

Théorème — Soit $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {P} )$ un espace probabilisé, soit $({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ une suite de sous-tribus de ${\mathcal {F}}$ indépendantes.

Soit $A$ un événement de la tribu asymptotique ${\mathcal {F}}_{\infty }$ associée. Alors $\mathbf {P} (A)\in \{0,1\}$ .

Démonstration

Les tribus $U_{n}=\sigma ({\mathcal {F}}_{1}\cup \ldots \cup {\mathcal {F}}_{n-1})$ et $T_{n}=\sigma (\cup _{k\geq n}{\mathcal {F}}_{k})$ sont indépendantes.

La tribu asymptotique vérifie $\forall n\in \mathbf {N} ,{\mathcal {F}}_{\infty }\subset T_{n}$ ce qui nous assure, pour tout n, l'indépendance de ${\mathcal {F}}_{\infty }$ et $U_{n}$ .

Posons alors ${\mathcal {U}}$ , la tribu engendrée par toutes les tribus $U_{n}$ .

La suite de tribus $(U_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ est croissante, donc sa limite $\bigcup _{n\in \mathbf {N} }U_{n}$ est un $\pi$ -système qui engendre ${\mathcal {U}}$ . Comme $\bigcup _{n\in \mathbf {N} }U_{n}$ et ${\mathcal {F}}_{\infty }$ sont des tribus indépendantes sous $\mathbf {P}$ , ${\mathcal {U}}$ et ${\mathcal {F}}_{\infty }$ le sont aussi par lemme de classe monotone.

Ainsi, pour tous événements $A\in {\mathcal {U}}$ et $B\in {\mathcal {F}}_{\infty }$ , on a $\mathbf {P} (A\cap B)=\mathbf {P} (A)\mathbf {P} (B)$ .

Or comme ${\mathcal {F}}_{\infty }\subset {\mathcal {U}}$ , pour $A=B\in {\mathcal {F}}_{\infty }$ , on obtient $\mathbf {P} (A)=\mathbf {P} (A)^{2}$ .

On en conclut que $\mathbf {P} (A)\in \{0,1\}$ .

Corollaire — Soit $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {P} )$ un espace probabilisé, soit $(E_{n},{\mathcal {E}}_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ une suite d'espaces mesurables. Soit $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite de variables aléatoires indépendantes avec $X_{n}$ à valeurs dans $E_{n}$ .

Soit $A$ un événement de la tribu asymptotique ${\mathcal {F}}_{\infty }$ associée à $(X_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ . Alors $\mathbf {P} (A)\in \{0,1\}$ .

Exemples

On suppose que les $X_{n}$ sont des variables aléatoires à valeurs dans un espace de Banach $E$ muni d'une tribu incluant les ouverts (et donc la tribu borélienne).

L'événement $A$ : « la suite $(X_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ converge » est un événement queue. En effet, d’après le critère de Cauchy, $A=\{\forall \varepsilon >0\exists k\in \mathbf {N} ,\forall p,q\geq k,\|X_{p}-X_{q}\|\leq \varepsilon \}$ , donc quitte à prendre une suite $(\varepsilon _{m})_{m\in \mathbf {N} }$ décroissant vers 0 et choisir $k$ au-dessus du rang $n$ choisi :

A=\bigcap _{n\in \mathbf {N} }\bigcap _{m\in \mathbf {N} }\bigcup _{k\geq n}\bigcap _{p,q\geq k}\{\|X_{p}-X_{q}\|\leq \varepsilon _{m}\}

L'événement $B_{l}$ : « la suite $(X_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ admet $l$ comme valeur d'adhérence » est un événement queue.
L'événement $C$ : « la série $\sum _{k=1}^{\infty }X_{k}$ converge » est un événement queue. Comme indiqué ci-dessous, la valeur de la somme de la série le cas échéant n'est en revanche généralement pas ${\mathcal {F}}_{\infty }$ -mesurables.
Si $E=\mathbf {R}$ , $\limsup _{n\to \infty }X_{n}$ et $\liminf _{n\to \infty }X_{n}$ sont ${\mathcal {F}}_{\infty }$ -mesurables.

Soit $N\in \mathbf {N} ^{*}$ et $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{N})\in E^{N}$ , l'événement $D$ : « il existe une infinité d'entiers $n\in \mathbf {N}$ tels que $(X_{n+1},X_{n+2},\ldots ,X_{n+N})=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{N})$ » est un événement queue. Si les $X_{n}$ sont indépendants et identiquement distribués et $\mathbf {P} (X_{1}=a_{i})>0$ pour $i=1,2,\ldots ,n$ , cet événement est presque certain, fait connu sous le nom de paradoxe du singe savant.

D’après la loi du zéro-un de Kolmogorov, si les $X_{n}$ sont indépendants, ces événements sont donc soit presque sûrs, soit au contraire négligeables et les fonctions ${\mathcal {F}}_{\infty }$ -mesurables sont constantes presque partout.

Au contraire, si $E=\mathbf {R}$ , l’événement $\sum _{k=1}^{\infty }X_{k}>1$ n'est pas un événement queue dans le cas général, puisqu’il n’est généralement pas indépendant de la valeur de $X_{1}$ .

Notes et références

Tail events en anglais.
Paul Deheuvels, La probabilité, le hasard et la certitude, Presses Universitaires de France, 28 juin 2017
Kolmogorov 1933, p. 60
Kolmogorov 1933 (traduction), p. 69
Jacod et Protter 2003, p. 79
Charpentier et al. 2004, p. 58
Charpentier et al. 2004, p. 56-58
Klein et Sacquin 1998, p. 67. Citation datée de l’année 1977.
Kolmogorov 1933, p. 67, note 9
Kolmogorov 1933, p. 67, note 1
Kolmogorov 1933, p. 67
Borel 1909
Kolmogorov 1933, p. 69, note 2.
De façon équivalente, il est possible de partir des fonctions continues.
C’est-à-dire, que cet événement soit indépendant de tout événement contenu dans les tribus engendrées par ces sous-suites finies de variables.
Kolmogorov 1933, p. 69
Kolmogorov 1933, p. 69–70
C’est-à-dire
${\mathfrak {R}}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\sigma (X_{0},\dots ,X_{n})$
Les variables aléatoires $(X n) n \in N$ étant mesurables, ces ensembles sont intersections et réunions finies d’événements de la tribu $ℱ$ , donc des événements.
$A \in σ(ℜ)$ avec des notations plus modernes.
$ℜ$ est un π-système.

Voir aussi

Liens internes

Théorème de Borel-Cantelli
Loi du zéro-un de Borel
Loi du zéro-un de Hewitt-Savage (en)
Loi du zéro-un de Lévy (en)

Bibliographie

(de) Andreï Nikolaïevitch Kolmogorov, Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Berlin, Springer, coll. « Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete », 1933 (ISBN 978-3-6424-9596-0), Anhang: Null- oder Eins-Gesetz in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, p. 60
Monographie originelle de Kolmogorov, présentant son axiomatisation de la théorie des probabilités, aujourd’hui universellement adoptée.
Traduction en anglais : (en) Foundations of the theory of probability (trad. Nathan Morrison), New York, Chelsea Publishing Company, 1950 (OCLC 185529381, lire en ligne), Appendix : Zero-or-one Law in the Theory of Probability, p. 69-70
Éric Charpentier (dir.), Loïc Chaumont, Laurent Mazliak, Marc Yor et al., L’Héritage de Kolmogorov en mathématiques, Paris, Belin, coll. « Échelles », 2004, 304 p. (ISBN 978-2-7011-3669-1), chap. 3 (« Quelques aspects de l’œuvre probabiliste »), p. 58-59
Jean Jacod et Philip Protter, l’Essentiel en théorie des probabilités, Paris, Cassini, 2003 (ISBN 2-84225-050-8), « Indépendance de variables aléatoires », théorème 10.6, p. 79
Cours de probabilités de niveau licence et master.
Étienne Klein et Yves Sacquin (dir.), Prédiction et probabilité dans les sciences, Éditions frontières, 1998, 159 p. (ISBN 2-86332-232-X, lire en ligne)
Émile Borel, « Les Probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques », Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 27, n^o 1,‎ décembre 1909, p. 247-271 (ISSN 0009-725X et 1973-4409, DOI 10.1007/BF03019651, lire en ligne).

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[1] Tail events en anglais.

[2] Paul Deheuvels, La probabilité, le hasard et la certitude, Presses Universitaires de France, 28 juin 2017

[3] Kolmogorov 1933, p. 60

[4] Kolmogorov 1933 (traduction), p. 69

[JacodProtter2003p79-5] Jacod et Protter 2003, p. 79

[Charpentier2004p58-6] Charpentier et al. 2004, p. 58

[7] Charpentier et al. 2004, p. 56-58

[8] Klein et Sacquin 1998, p. 67. Citation datée de l’année 1977.

[9] Kolmogorov 1933, p. 67, note 9

[10] Kolmogorov 1933, p. 67, note 1

[11] Kolmogorov 1933, p. 67

[12] Borel 1909

[13] Kolmogorov 1933, p. 69, note 2.

[14] De façon équivalente, il est possible de partir des fonctions continues.

[15] C’est-à-dire, que cet événement soit indépendant de tout événement contenu dans les tribus engendrées par ces sous-suites finies de variables.

[16] Kolmogorov 1933, p. 69

[17] Kolmogorov 1933, p. 69–70

[18] C’est-à-dire
${\mathfrak {R}}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\sigma (X_{0},\dots ,X_{n})$

[19] Les variables aléatoires $(X n) n \in N$ étant mesurables, ces ensembles sont intersections et réunions finies d’événements de la tribu $ℱ$ , donc des événements.

[20] $A \in σ(ℜ)$ avec des notations plus modernes.

[21] $ℜ$ est un π-système.