Déterminant de Dieudonné

En algèbre linéaire, le déterminant de Dieudonné est une généralisation du déterminant aux corps gauches[1] et plus généralement aux anneaux locaux non nécessairement commutatifs[2].

Définition

Soient R un anneau local (non nécessairement commutatif) et (R×)ab l'abélianisé du groupe R× de ses éléments inversibles (c'est le groupe quotient de R× par son groupe dérivé [R×, R×]). Notons θ le morphisme canonique de R× sur (R×)ab. Pour tout entier n ≥ 1, il existe un unique application det : GLn(R) → (R×)ab, appelée déterminant, telle que :

Exemples

Soit . Alors chaque ligne et chaque colonne contient au moins un élément inversible. Supposons par exemple que . Alors,

De même, si alors

.

Plus concrètement, soit R = ℍ, le corps des quaternions. (ℍ×)ab = ℝ+*. Pour

,

les deux formules ci-dessus s'appliquent, donnant bien entendu le même résultat :

et
.

Propriétés

  • Cette application est un morphisme de groupes.
  • Quand on intervertit deux lignes, le déterminant est multiplié par 1.
  • Si R est commutatif, le déterminant est invariant par transposition[3].

Références

  1. Jean Dieudonné, « Les déterminants sur un corps non commutatif », Bulletin de la SMF, vol. 71, , p. 27-45 (DOI 10.24033/bsmf.1345).
  2. (en) Jonathan Rosenberg (en), Algebraic K-theory and Its Applications, Springer, coll. « GTM » (no 147), (ISBN 978-0-387-94248-3, Math Reviews 1282290, zbMATH 0801.19001, lire en ligne), p. 64. Errata.
  3. Pour un contre-exemple dans le cas non commutatif, voir les errata de Rosenberg 1994, ou (en) D. A. Suprunenko, « Determinant », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne), ou plus simplement, l'exemple ci-dessus.

Article connexe

Lemme de Whitehead

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