Anneau local

Le quotient d'un anneau local A par son unique idéal maximal s'appelle le corps résiduel de A.

Un homomorphisme d'anneaux locaux ${\displaystyle f:A\to B}$ est un morphisme d'anneaux qui envoie l'idéal maximal de ${\displaystyle A}$ dans celui de ${\displaystyle B}$.

Remarque : Pour certains auteurs[1], un anneau ayant un unique idéal maximal est appelé quasi-local, réservant ainsi le nom d'anneaux locaux aux anneaux quasi-locaux noethériens. Mais cette convention est peu répandue.

• Tout corps commutatif est un anneau local, d'idéal maximal ${\displaystyle (0)}$.
• Pour tout nombre premier ${\displaystyle p}$, l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$ des nombres rationnels dont le dénominateur n'est pas divisible par ${\displaystyle p}$ est un anneau local ; son unique idéal maximal est ${\displaystyle p\mathbb {Z} _{(p)}}$. Cet anneau est aussi principal, il correspond à une structure d'anneau de valuation discrète.
• Tout anneau de valuation est local.
• Pour tout corps commutatif ${\displaystyle K}$, l'anneau ${\displaystyle K[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]}$ des séries formelles à coefficients dans ${\displaystyle K}$ et à ${\displaystyle n}$ variables est un anneau local dont l'idéal maximal est engendré par ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$.
• L'anneau des germes des fonctions holomorphes à n variables à l'origine (0,…,0) est un anneau local dont l'idéal maximal est induit par les fonctions holomorphes s'annulant à l'origine. On peut aussi remplacer les fonctions holomorphes par les fonctions de classe C^k pour tout entier fixé k positif ou nul.

Un anneau A est local si et seulement si les éléments non inversibles de A forment un idéal (qui sera alors l'idéal maximal de A).

Le procédé de localisation fait apparaître de façon naturelle des anneaux locaux. En effet, si ${\displaystyle P}$ est un idéal premier de ${\displaystyle A}$, alors le localisé ${\displaystyle A_{P}}$ de ${\displaystyle A}$ par rapport à la partie multiplicative A \ P est un anneau local, d'idéal maximal engendré par l'image de ${\displaystyle P}$ dans ${\displaystyle A_{P}}$. L'exemple des rationnels ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$ ci-dessus est la localisation de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ en l'idéal premier ${\displaystyle p\mathbb {Z} }$.

Le quotient d'un anneau local par un idéal propre est encore un anneau local.

Dans un anneau local, tout idéal inversible est principal[2].

Un anneau commutatif unitaire est appelé un anneau semi-local (en) s'il ne possède qu'un nombre fini d'idéaux maximaux. La somme directe d'un nombre fini d'anneaux locaux est semi-locale. Si ${\displaystyle S}$ est le complémentaire de la réunion d'un nombre fini d'idéaux premiers ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$ dans un anneau commutatif unitaire ${\displaystyle A}$, alors le localisé ${\displaystyle S^{-1}A}$ est semi-local. Ses idéaux maximaux sont les idéaux engendrés par les images des ${\displaystyle P_{i}}$ (on ne garde que les ${\displaystyle P_{i}}$ contenus dans aucun autre ${\displaystyle P_{j}}$).

• Complétion (théorie des anneaux) (en)
• Radical de Jacobson

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