Groupe dérivé

Le commutateur de deux éléments ${\displaystyle g\in G}$ et ${\displaystyle h\in G}$ est par définition l'élément ${\displaystyle [g,h]}$ défini par[1] :

${\displaystyle [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}\,}$.

Le commutateur mesure le défaut de commutation des éléments g et h :

${\displaystyle gh=[g,h]hg}$ et donc : ${\displaystyle [g,h]=e\Leftrightarrow gh=hg}$

En particulier, dans un groupe abélien, tous les commutateurs sont égaux à l'élément neutre ${\displaystyle e}$.

• L'inverse du commutateur de g et de h est le commutateur de h et de g :

${\displaystyle [g,h]^{-1}=[h,g]}$.

• L'ensemble des commutateurs est stable par tout endomorphisme ${\displaystyle \psi }$ de G : pour tous g et h dans G,

${\displaystyle \psi ([g,h])=[\psi (g),\psi (h)]}$.

• Pour tous g, h, et k dans G, on a :

${\displaystyle [g,hk]=[g,h].h[g,k]h^{-1}}$.

L'ensemble des commutateurs est stable par l'inverse mais pas nécessairement par composition. Il n'est pas, en général, un sous-groupe de G. Le sous-groupe engendré par les commutateurs est appelé le groupe dérivé de G, noté D(G) ou [G, G].

${\displaystyle D(G)=[G,G]=\langle \{[g,h]\mid (g,h)\in G^{2}\}\rangle .}$

En particulier, tout élément de D(G) est un produit fini de commutateurs. Comme l'image d'un commutateur par un endomorphisme de groupe est un commutateur, le groupe dérivé est stable par tout endomorphisme de G : c'est un sous-groupe pleinement caractéristique de G. En particulier, c'est un sous-groupe caractéristique, et donc normal, de G.

Exemples :

• Le groupe dérivé du groupe symétrique S_n est le groupe alterné A_n.
• Le groupe dérivé du groupe général linéaire GL(n, K) est le groupe spécial linéaire SL(n, K), sauf si n = 2 et K = F₂.
• Tous les groupes SL(n, K) sont parfaits (c'est-à-dire que chacun est égal à son sous-groupe dérivé), sauf SL(2,F₂) et SL(2,F₃).

Propriétés

• Le groupe dérivé d'une somme directe de groupes G_i est la somme directe des groupes dérivés D(G_i)[2].
• Le groupe dérivé d'un produit direct de groupes G_i est, dans le produit direct des groupes dérivés D(G_i), le sous-groupe constitué des éléments g pour lesquels il existe un entier n_g tel que, pour tout i, la composante g_i de g soit un produit de n_g commutateurs.

Comme [G, G] est un sous-groupe normal de G, on peut définir le quotient de G par [G, G], par définition l'abélianisé de G :

${\displaystyle Ab(G)=G^{ab}=G/[G,G]}$.

Exemples

• Si G est commutatif, alors G^ab est égal à G/{1} donc s'identifie canoniquement à G.
• Si G est le groupe multiplicatif ℍ* des quaternions de Hamilton non nuls, alors [G, G] est le groupe des quaternions de norme 1, qui n'est autre que la sphère unité S³ de ℝ⁴. La fonction a ↦ ║a║, de ℍ* dans le groupe multiplicatif ℝ*₊ des nombres réels strictement positifs, est un morphisme de groupes surjectif de noyau S³, et par passage au quotient on obtient un isomorphisme de (ℍ*)^ab = ℍ*/S³ sur ℝ*₊.

Pour tout groupe G, son abélianisé Ab(G) est un groupe abélien.

C'est même le plus grand quotient abélien de G au sens suivant (ce qui prouve que le « plus petit sous-groupe normal pour lequel le groupe quotient G/[G, G] est abélien », évoqué en introduction, existe et est égal au groupe dérivé défini ci-dessus) :

Si H est un sous-groupe normal de G, le quotient G/H est abélien si et seulement si H contient le groupe dérivé de G[3].

En effet, G/H est abélien si et seulement si, pour tous éléments g et h de G, il existe x dans H tel que : gh = xhg, c'est-à-dire si et seulement si (pour tous g et h) le commutateur [g, h] appartient à H.

La propriété précédente se reformule en termes de morphismes :

Tout morphisme de G vers un groupe abélien se factorise à travers Ab(G).

L'abélianisé d'un groupe est son premier groupe d'homologie à coefficients entiers : G^ab = H₁(G, ℤ).

La suite dérivée de G est la suite des sous-groupes de G définie par récurrence de la façon suivante :

${\displaystyle D^{0}(G)=G}$

et

${\displaystyle D^{k}(G)=D\left[D^{k-1}(G)\right]=[D^{k-1}(G),D^{k-1}(G)]}$.

Les sous-groupes de G apparaissant dans sa suite dérivée sont[4] des sous-groupes pleinement caractéristiques de G.
Si cette suite est stationnaire à ${\displaystyle \{e\}}$, c'est-à-dire s'il existe un naturel n tel que ${\displaystyle D^{n}(G)=\{e\}}$, le groupe est dit résoluble.

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