Matrice identité

En algèbre linéaire, la matrice identité ou matrice unité est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 partout ailleurs. Elle peut s'écrire

${\displaystyle \operatorname {diag} (1,1,\ldots ,1)}$

Ne doit pas être confondu avec Unité matricielle.

Puisque les matrices peuvent être multipliées à la seule condition que leurs types soient compatibles, il y a des matrices unité de tout ordre. I_n est la matrice unité d'ordre n et est donc définie comme une matrice diagonale avec 1 sur chaque entrée de sa diagonale principale. Ainsi :

${\displaystyle \mathrm {I} _{1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}},\ \mathrm {I} _{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\ \mathrm {I} _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\ \cdots ,\ \mathrm {I} _{n}={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&1\end{pmatrix}}.}$

Concernant la multiplication des matrices, les matrices unités vérifient que pour tous p, n entiers naturels non nuls et pour toute matrice A à n lignes et p colonnes,

${\displaystyle \mathrm {I} _{n}\mathrm {A} =\mathrm {A} \mathrm {I} _{p}=\mathrm {A} }$,

ce qui montre que la multiplication par une matrice unité n'a aucun effet sur une matrice donnée. On peut le démontrer par calcul direct ou en remarquant que l'application identité (qu'elle représente dans n'importe quelle base) n'a aucun effet par composition avec une application linéaire donnée.

En particulier, I_n est l'élément neutre pour la multiplication des matrices carrées d'ordre n.

Il est possible aussi de noter les coefficients de la matrice unité d'ordre n avec le symbole de Kronecker ; le coefficient de la i-ème ligne et j-ème colonne s'écrit :

${\displaystyle \delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{si }}i=j\\0&{\mbox{si }}i\neq j\end{matrix}}\right.\,}$

et donc la matrice unité I est égale à

${\displaystyle \mathrm {I} =(\delta _{ij})}$.

Si l'ordre n'est pas précisé, ou qu'il est implicitement déterminé par le contexte, nous pouvons la noter simplement I.