Fonction exponentielle/Annexe/Démonstration que la somme infinie de tous les inverses des k! est égale à e

Introduction

Le nombre e est appelé nombre de Neper. C'est la valeur en 1 de la fonction exponentielle : e = exp 1.

On cherche à démontrer que $\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}=\mathrm {e}$ et plus généralement, que pour tout réel $a$ ,

\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {a^{k}}{k!}}=\exp a

,

en utilisant que

la fonction exponentielle vérifie
$\exp '=\exp ,\quad \exp(0)=1\quad {\text{et}}\quad \exp(a)\exp(-a)=1$ ;
elle est positive et croissante.

Cette démonstration peut se faire avec des outils mathématiques du niveau de Terminale scientifique.

Démonstration

On se place dans le cas $a\geq 0$ , pour alléger l'écriture mais englober le cas particulier $a=1$ (la preuve dans le cas $a\leq 0$ serait analogue).

Rappelons tout d’abord que par convention, $0!=1$ et pour tout réel $x$ , $x^{0}=1$ .

On pose, pour tout réel $x$ et tout entier naturel $n$ :

f_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}}

(donc

f_{n}(0)=1

et

f_{n+1}'=f_{n}

)

puis

g_{n}(x)=f_{n}(x)\exp(-x)

.

Alors, $g_{n}(0)=1$ et pour tout entier $n>0$ ,

g_{n}'(x)=g_{n-1}(x)-g_{n}(x)=-{\tfrac {x^{n}}{n!}}\exp(-x)

donc

{\begin{aligned}{\frac {|f_{n}(a)-\exp a|}{\exp a}}&=\left|g_{n}(a)-g_{n}(0)\right|\\&=\int _{0}^{a}{\tfrac {x^{n}}{n!}}\exp(-x)\,{\rm {d}}x\\&\leq \int _{0}^{a}{\tfrac {x^{n}}{n!}}\,{\rm {d}}x\\&={\frac {a^{n+1}}{(n+1)!}}.\end{aligned}}

Or (par un théorème de comparaison)

\lim _{n\to \infty }{\frac {a^{n+1}}{(n+1)!}}=0

donc

\lim _{n\to \infty }f_{n}(a)=\exp a

,

ce qu’il fallait démontrer.

Corollaire : irrationalité de e

Lemme

La suite $(u_{n})$ définie par $u_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}$ vérifie :

\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad 0<n!\,(\mathrm {e} -u_{n})<1

.

Démonstration

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$ . La minoration par 0 étant immédiate, il suffit de montrer la majoration par 1.

Voici quatre preuves. Les trois premières utilisent simplement que $u_{m}\to \mathrm {e}$ ; la dernière, plus rapide, exploite l'inégalité de la section précédente, qui a permis de démontrer cette convergence.

Soit $(a_{n})_{n\geq 2}$ une suite réelle positive telle que
$\forall n\geq 2\quad a_{n}<n-1\quad {\text{et}}\quad (n+1)a_{n}-a_{n+1}\geq 1$ .

(Par exemple : $a_{n}=C\in \left[1/2,1\right[$ , ou encore : $a_{n}=1/n$ , qui correspond aux deux suites adjacentes classiques convergeant vers $e$ .)

Alors, $n!\,(\mathrm {e} -u_{n})\leq {\frac {1+a_{n+1}}{n+1}}<1$ car pour tout $m>n$ ,
$n!\,(u_{m}-u_{n})=\sum _{k=n+1}^{m}{\frac {n!}{k!}}\leq {\frac {1}{n+1}}+n!\,\sum _{k=n+2}^{m}\left({\frac {a_{k-1}}{(k-1)!}}-{\frac {a_{k}}{k!}}\right)\leq {\frac {1+a_{n+1}}{n+1}}$ , par télescopage.
On a $n!\,(\mathrm {e} -u_{n})\leq {\frac {n+2}{(n+1)^{2}}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n(n+1)^{2}}}<1$ (le même majorant qu'en choisissant $a_{n}=1/n$ dans la première preuve) car pour tout $m\geq n$ ,
$n!\,(u_{m}-u_{n})=\sum _{k=n+1}^{m}{\frac {n!}{k!}}\leq {\frac {1}{n+1}}\sum _{k=n+1}^{m}{\frac {1}{(n+2)^{k-n-1}}}\leq {\frac {1}{(n+1)\left(1-{\frac {1}{n+2}}\right)}}$ ,

où la dernière inégalité vient du calcul d'une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.
(Inspiré de A. R. G. MacDivitt et Yukio Yanagisawa, « An elementary proof that e is irrational », The Mathematical Gazette, vol. 71, n^o 457, 1987) :
On a $n!\,(\mathrm {e} -u_{n})\leq {\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n(n+1)(n+2)}}<1$ (le même majorant qu'en choisissant $a_{n}={\frac {n}{n^{2}-1}}$ dans la première preuve) car pour tout $m\geq n+2$ ,
${\begin{aligned}(n+1)!\,(u_{m}-u_{n})&=\sum _{k=n+1}^{m}{\frac {(n+1)!}{k!}}\\&\leq 1+{\frac {1}{n+2}}+\sum _{k=n+3}^{m}{\frac {n!}{(k-1)!}}\\&=1+{\frac {1}{n+2}}-{\frac {1}{n+1}}+\sum _{k=n+2}^{m}{\frac {n!}{(k-1)!}}\\&=1-{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}+n!\,(u_{m-1}-u_{n}).\end{aligned}}$
- La majoration pour $n=1$ , équivalente à $\mathrm {e} <3$ , se déduit par exemple de
  $\mathrm {e} ^{-1}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}>\sum _{k=0}^{3}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}={\frac {1}{3}}$ .
- L'inégalité de la section précédente fournit alors, pour $n\geq 2$ , une majoration grossière mais suffisante :
  $n!\,(\mathrm {e} -u_{n})\leq {\frac {\mathrm {e} }{n+1}}\leq {\frac {\mathrm {e} }{3}}<1$ .

Remarquons que $n!\,u_{n}=\sum _{k=0}^{n}n(n-1)\dots (k+1)$ est entier, donc le lemme signifie que :

cet entier n'est autre que la partie entière de $n!\,\mathrm {e}$ ;
le réel $n!\,\mathrm {e}$ n'est pas entier.

Corollaire

Le nombre $\mathrm {e}$ est irrationnel.

Démonstration

D'après ce qui précède, pour tout $q\in \mathbb {N} ^{*}$ , on a $q!\,\mathrm {e} \notin \mathbb {Z}$ et a fortiori, $q\,\mathrm {e} \notin \mathbb {Z}$ .

Autrement dit : $\mathrm {e}$ n'est égal à aucun rationnel ${\frac {p}{q}}\quad (p\in \mathbb {Z} ,\;q\in \mathbb {N} ^{*})$ .

On peut même démontrer de façon élémentaire que $\mathrm {e}$ n'est pas algébrique de degré ≤ 2 : Intégration en mathématiques/Devoir/e est-il un rationnel ?.

En fait, $\mathrm {e}$ est même transcendant, mais cela ne sera démontré qu'au niveau 16 : Introduction à la théorie des nombres/Annexe/Démonstration de la transcendance de e et pi.

Cet article est issu de Wikiversity. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Partage dans les Mêmes. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.