Fonction exponentielle/Étude de la fonction exponentielle

Dérivée de la fonction exponentielle

Rappel

La dérivée de la fonction ${\displaystyle \exp$ est elle-même :

\forall x\in \mathbb {R} \quad \exp '(x)=\mathrm {e} ^{x}

.

Cette propriété est inhérente à la définition de $\exp$ comme solution d'une équation différentielle (chap. 1). Nous avons admis (chap. 2) que cette définition de $\exp$ est équivalente à celle à partir du logarithme.

Variations de la fonction exponentielle

Positivité de l'exponentielle

Théorème

\forall x\in \mathbb {R} \quad \exp(x)>0

.

Démonstration

C'est une conséquence de la propriété algébrique fondamentale de l'exponentielle.

Variations de la fonction exponentielle

Corollaire

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb {R}$ .

En effet, $\exp '=\exp >0$ .

Limites aux bornes

Les deux propositions ci-dessous seront généralisées et démontrées au chapitre suivant.

Limite en + ∞

Proposition

\lim _{x\to +\infty }\mathrm {e} ^{x}=+\infty

.

Limite en -∞

Proposition

\lim _{x\to -\infty }\mathrm {e} ^{x}=0

.

Courbe représentative

Tangente remarquable

Propriété

Au point $(a,\mathrm {e} ^{a})$ , la tangente a pour équation $y=\mathrm {e} ^{a}(1+x-a)$ . En particulier au point $(0,1)$ , la tangente a pour équation $y=1+x$ .

On peut donc donner une approximation affine de exp au voisinage de 0 :

\mathrm {e} ^{x}\approx 1+x

.

Démonstration

L'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ est

y=\exp(a)+\exp '(a)(x-a)

,

or

\exp '(a)=\exp '(a)=\mathrm {e} ^{a}

.

Propriété

La courbe est au-dessus de toutes ses tangentes. En particulier :

\forall x\neq 0\quad \mathrm {e} ^{x}>1+x

.

Démonstration

Montrons d'abord que $\forall x\neq 0\quad \mathrm {e} ^{x}>1+x$ , en étudiant la fonction $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto \mathrm {e} ^{x}-1-x$ .

$f'(x)=\mathrm {e} ^{x}-1$ est du signe de $x$ (strictement) donc $f$ a un minimum (strict) en $0$ . Par conséquent, on a bien

$\forall x\neq 0\quad f(x)>f(0)=0$ , c'est-à-dire $\mathrm {e} ^{x}>1+x$ .

Par changement de variable, on en déduit que plus généralement,

$\forall t\neq a\quad \mathrm {e} ^{t-a}>1+t-a$ , c'est-à-dire $\mathrm {e} ^{t}>\mathrm {e} ^{a}(1+t-a)$ .

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