Étude des variations
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La fonction logarithme népérien est définie sur l’intervalle , sur lequel elle est strictement croissante.
En effet, .
Étude du signe
En effet, est strictement croissante et s'annule en .
Étude des limites
Limite en +∞
Comme on sait que est croissante, il suffit de regarder l’évolution de sur une suite de valeurs tendant vers , par exemple .
tend vers quand n tend vers , car .
Limite en 0+
Quand , donc , donc .
Compléter le tableau de variations avec ces deux limites.
Tangente remarquable
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Au point , la tangente a pour équation . En particulier au point , la tangente a pour équation .
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La courbe est en dessous de toutes ses tangentes. En particulier :
- ,
l'inégalité étant même stricte si .
Montrons d'abord que , en étudiant la fonction .
est (strictement) du signe de donc a un maximum (strict) en . Par conséquent, on a bien
, c'est-à-dire .
Par changement de variable, on en déduit que plus généralement, pour tout ,
, c'est-à-dire .
Courbe représentative
Le nombre e et l’équation ln(x) = 1
D’après le tableau de variations, est une bijection de sur . En particulier :
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Il existe un unique réel, noté (constante de Neper, ou parfois nombre d'Euler) tel que .
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Le nombre est irrationnel, de valeur approchée 2,718.
(En fait, e est même transcendant.)