Intégration en mathématiques/Devoir/e est-il un rationnel ?

— Ⅰ —

Dans toute cette partie, $x$ désigne un nombre réel.

Pour tout entier naturel $n$ , on considère l'intégrale

I_{n}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {(x-t)^{n}}{n!}}\operatorname {e} ^{t}\,\mathrm {d} t

.

1° Calculer $I_{0}(x)$ .

2° En utilisant la formule d'intégration par parties, démontrer que :

I_{n}(x)={\frac {x^{n+1}}{(n+1)!}}+I_{n+1}(x)

.

3° Démontrer par récurrence sur $n$ la formule :

\mathrm {e} ^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+I_{n}(x)

.

— Ⅱ —

On pose :

P_{n}(x)=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}

;

Q_{n}=n!\left[aP_{n}(1)+b+cP_{n}(-1)\right]

;

I_{n}=n!\,I_{n}(1)\quad {\text{et}}\quad J_{n}=(-1)^{n+1}n!\,I_{n}(-1)

.

1° Pour $(a,b,c)\in \mathbb {Z} ^{3}$ , on considère $H=a\operatorname {e} +b+c\operatorname {e} ^{-1}$ .

a) Démontrer que :

n!\,H=Q_{n}+aI_{n}+(-1)^{n+1}cJ_{n}

.

b) Démontrer que :

0\leqslant I_{n}\leqslant {\frac {\mathrm {e} }{n+1}}\quad {\text{et}}\quad 0\leqslant J_{n}\leqslant {\frac {1}{n+1}}

.

En déduire la limite de

aI_{n}+(-1)^{n+1}cJ_{n}

quand

n

tend vers l'infini.

c) Démontrer que le réel

Q_{n}-\left[a+(-1)^{n}c\right]

est le produit de

n

par un entier.

2° En déduire que si $(a,c)\neq (0,0)$ , alors il existe une infinité d'entiers $n$ tels que $\left|Q_{n}\right|\geq 1$ .

3° a) Déduire des questions précédentes que $H$ ne peut être nul que si $a=b=c=0$ .

b) Démontrer que

\mathrm {e}

ne peut pas être solution d'une équation de degré 1 ou 2 à coefficients dans

\mathbb {Q}

.

c) Le nombre

\mathrm {e}

est-il rationnel ?

Corrigé

— Ⅰ —

1° $I_{0}(x)=\int _{0}^{x}\mathrm {e} ^{t}\,\mathrm {d} t=\mathrm {e} ^{x}-1$ .

2° $I_{n}(x)=\left[{\frac {-(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}}\operatorname {e} ^{t}\right]_{0}^{x}+I_{n+1}(x)$ .

3° L'initialisation vient de la question 1 et l'hérédité de la question 2.

— Ⅱ —

1° a) D'après la fin de la partie Ⅰ, $H=a\left(P_{n}(1)+I_{n}(1)\right)+b+c\left(P_{n}(-1)+I_{n}(-1)\right)={\frac {Q_{n}+aI_{n}+c(-1)^{n+1}J_{n}}{n!}}$ .

b)

I_{n}=\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\operatorname {e} ^{t}\,\mathrm {d} t

est compris entre

\int _{0}^{1}0\,\mathrm {d} t=0

et

\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\operatorname {e} ^{1}\,\mathrm {d} t={\frac {\mathrm {e} }{n+1}}

.

J_{n}=(-1)^{n+1}\int _{0}^{-1}(-1-t)^{n}\operatorname {e} ^{t}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}(1-s)^{n}\operatorname {e} ^{-s}\,\mathrm {d} s

est compris entre

\int _{0}^{1}0\,\mathrm {d} t=0

et

\int _{0}^{1}(1-s)^{n}\operatorname {e} ^{0}\,\mathrm {d} s={\frac {1}{n+1}}

.

\left|aI_{n}+(-1)^{n+1}cJ_{n}\right|\leqslant {\frac {|a|\mathrm {e} +|c|}{n+1}}\to 0

.

c)

n!\,P_{n}(X)-X^{n}

est le produit de

n

par un polynôme à coefficients entiers donc

n!\,P_{n}(1)-1

et

n!\,P_{n}(-1)-(-1)^{n}

sont des multiples entiers de

n

, donc

Q_{n}-\left[a+(-1)^{n}c\right]

aussi.

2° Raisonnons par contraposition, en supposant qu'il n'existe qu'un nombre fini d'entiers $n$ tels que $\left|Q_{n}\right|\geq 1$ , c'est-à-dire qu'il existe un $n_{0}$ tel que $\forall n>n_{0}\quad Q_{n}=0$ .

Alors, d'après la question précédente,

\forall n>n_{0}\quad n\mid a+(-1)^{n}c

, donc

a+c

et

a-c

sont nuls (car divisibles par des entiers arbitrairement grands), si bien que

a=c=0

.

3° a) Si $H=0$ , alors (d'après Ⅱ - 1° a) $aI_{n}+(-1)^{n+1}cJ_{n}=-Q_{n}$ pour tout $n$ donc (d'après Ⅱ - 1° b) $\left|Q_{n}\right|<1$ pour tout $n$ suffisamment grand donc (d'après Ⅱ - 2°) $a=c=0$ donc $b=H=0$ .

b) Si

a\mathrm {e} ^{2}+b\mathrm {e} +c=0

avec

a,b,c

rationnels ou même (quitte à les multiplier par un dénominateur commun) entiers alors, d'après la sous-question précédente,

a=b=c=0

.

c) Non, d'après la sous-question précédente.

Cet article est issu de Wikiversity. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Partage dans les Mêmes. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.