${\displaystyle (A,+,\cdot )}$

${\displaystyle (B,+,\cdot )}$

• morphisme (ou homomorphisme) [d'anneaux] de ${\displaystyle A}$ dans ${\displaystyle B}$ toute application de ${\displaystyle A}$ dans ${\displaystyle B}$ qui est à la fois un morphisme de magmas (donc de groupes) de ${\displaystyle (A,+)}$ dans ${\displaystyle (B,+)}$ et un morphisme de magmas unifères (donc de monoïdes) de ${\displaystyle (A,\cdot )}$ dans ${\displaystyle (B,\cdot )}$ ;
• isomorphisme tout morphisme ${\displaystyle \phi }$ bijectif et tel que ${\displaystyle \phi ^{-1}}$ soit aussi un morphisme ;
• endomorphisme de ${\displaystyle A}$ tout morphisme de ${\displaystyle A}$ dans lui-même ;
• automorphisme de ${\displaystyle A}$ tout isomorphisme de ${\displaystyle A}$ dans lui-même.

• ${\displaystyle \phi (0_{A})=0_{B}}$ ;
• ${\displaystyle \forall a\in A\quad \phi (-a)=-\phi (a)}$ ;
• ${\displaystyle \phi }$ est injectif si et seulement si son noyau — l'ensemble ${\displaystyle \operatorname {Ker} \phi$ :=\phi ^{-1}(\{0_{B}\})} — est réduit à ${\displaystyle \{0_{A}\}}$ ;
• si un élément ${\displaystyle a}$ est inversible dans ${\displaystyle A}$ alors ${\displaystyle \phi (a)}$ est inversible dans ${\displaystyle B}$ et son inverse est ${\displaystyle \phi (a^{-1})}$.

1. L'image directe par ${\displaystyle \phi }$ de tout sous-anneau de ${\displaystyle A}$ est un sous-anneau de ${\displaystyle B}$.
2. L'image réciproque par ${\displaystyle \phi }$ de tout sous-anneau de ${\displaystyle B}$ est un sous-anneau de ${\displaystyle A}$.
3. Le noyau de ${\displaystyle \phi }$ (et plus généralement : l'image réciproque par ${\displaystyle \phi }$ de tout idéal bilatère de ${\displaystyle \operatorname {Im} \phi }$) est un idéal bilatère de ${\displaystyle A.}$

Soient ${\displaystyle I}$ un idéal bilatère de ${\displaystyle A}$ inclus dans ${\displaystyle \operatorname {Ker} \phi }$ et ${\displaystyle \pi :A\to A/I}$ le morphisme canonique vers l'anneau quotient. Alors, il existe un unique morphisme ${\displaystyle {\tilde {\phi }}:A/I\to B}$ tel que ${\displaystyle \phi ={\tilde {\phi }}\circ \pi }$.

${\displaystyle \operatorname {Im} {\tilde {\phi }}=\operatorname {Im} \phi }$ et ${\displaystyle \operatorname {Ker} {\tilde {\phi }}=\operatorname {Ker} \phi /I}$.