Magma (mathématiques)

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Définition

Si $\star$ est une loi de composition interne sur un ensemble $E$ , le couple $(E,\ast )$ est appelé un magma.

En toute rigueur, le magma $(E,\ast )$ est distinct de l’ensemble sous-jacent $E$ , mais on commet souvent l'abus de langage de les identifier. Par exemple, on parle des éléments d'un magma pour désigner les éléments de son ensemble sous-jacent. On dit aussi qu'un magma est un ensemble muni d'une loi de composition interne.

Exemple: Tout monoïde est un magma.

Partie stable

Définition

Une partie stable d'un magma $(E,\ast )$ est une partie $A$ de $E$ telle que

\forall x,y\in A\quad x\ast y\in A

.

On l'appelle aussi sous-magma car $A$ , muni de la restriction de $\ast$ , est alors un magma.

Proposition

L'intersection d'une famille non vide de sous-magmas est un sous-magma.
Toute partie d'un magma est contenue dans un plus petit sous-magma, appelé magma engendré.

Démonstration

Soient $(H_{i})_{i\in I}$ une famille non vide de sous-magmas de $(E,\ast )$ , et $H$ son intersection (qui est bien définie, car $I\neq \varnothing$ ). Si $x,y\in H$ , alors $\forall i\in I\quad x,y\in H_{i}$ donc $x\star y\in H_{i}$ . Comme c’est vrai pour tout $i$ , $x\star y\in H$ .
Il suffit de considérer l'intersection de tous les sous-magmas de $E$ qui contiennent la partie (il y en a au moins un : $E$ lui-même).

Morphismes

Définition

Soient E et F deux magmas. Commettons l'abus de noter leurs lois de composition par le même symbole $\star$ . Un homomorphisme, ou encore morphisme, du magma E dans le magma F est une application f de E dans F telle que pour tous éléments x, y de E, on ait

f(x\star y)=f(x)\star f(y)

.

Si le morphisme f est bijectif, on dit que c’est un isomorphisme. S'il existe un isomorphisme entre deux magmas, on dit que ces deux magmas sont isomorphes.

L'identité est toujours un isomorphisme d'un magma sur lui-même. L'application réciproque d'un isomorphisme de E sur F est un isomorphisme de F sur E. Si E, F et G sont des magmas, le composé d'un isomorphisme de E sur F et d'un isomorphisme de F sur G est un isomorphisme de E sur G. Il résulte de ces trois faits que la relation « il existe un isomorphisme de E sur F » est une relation d'équivalence entre magmas. Deux magmas qui sont dans cette relation sont dits isomorphes.

Images directes et réciproques de sous-magmas

Soit $f:E\to F$ un morphisme de magmas.

L'image directe par $f$ de tout sous-magma de $E$ est un sous-magma de $F$ .
L'image réciproque par $f$ de tout sous-magma de $F$ est un sous-magma de $E$ .

Démonstration

Soit $A\subset E$ . Si $A\star A\subset A$ alors $f(A)\star f(A)=f(A\star A)\subset f(A)$ .
Soit $B\subset F$ . Si $B\star B\subset B$ alors, pour tous $x,y\in f^{-1}(B)$ , $f(x\star y)=f(x)\star f(y)\in B$ (car $f(x),f(y)\in B$ ), donc $x\star y\in f^{-1}(B)$ .

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