Une loi de composition interne ${\displaystyle \star }$ sur un ensemble X est une application : ${\displaystyle \star :X\times X\rightarrow X}$. Au lieu d’utiliser une notation fonctionnelle ${\displaystyle \star (x,y)}$ on utilise une notation en loi : ${\displaystyle x\star y}$.

Un ensemble muni d'une loi interne est appelé un magma.

1. Dans l'ensemble des parties d'un ensemble X, la loi de composition qui au couple (A, B) fait correspondre l’intersection de A et B.
2. Dans l’ensemble des parties d'un ensemble X, la loi de composition qui au couple (A, B) fait correspondre l'union de A et B.
3. Dans l’ensemble des parties d'un ensemble X, la loi de composition qui au couple (A, B) fait correspondre la différence (ensembliste) A – B.
4. L'addition dans l’ensemble des entiers naturels, ou dans l'ensemble des réels ;
5. La multiplication dans l’ensemble des entiers naturels, ou dans l'ensemble des réels ;

Une loi interne ${\displaystyle \star }$ sur un ensemble X est dite commutative si, pour tous éléments x, y de X, ${\displaystyle x\star y=y\star x.}$

• L'intersection de deux parties d'un ensemble, la réunion de deux parties d'un ensemble, l'addition et la multiplication dans l’ensemble des entiers naturels ou dans celui des réels sont des lois commutatives.
• Si X est un ensemble non vide, la loi interne dans l’ensemble des parties de X qui applique (A, B) sur la différence A – B n’est pas commutative (faire par exemple A = X et B = ${\displaystyle \varnothing }$).
• La soustraction ${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbb {R} \times \mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\(x,y)&\mapsto &x-y\end{matrix}}}$ est une loi interne non commutative.

Une loi interne ${\displaystyle \star }$ sur un ensemble X est dite associative si, pour tous éléments x, y et z de X, ${\displaystyle (x\star y)\star z=x\star (y\star z)}$.

Dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ :

• l'addition est associative ;
• la soustraction n’est pas associative.

Soit ${\displaystyle \star }$ une loi interne sur un ensemble X. On dit qu'un élément e de X est un élément neutre pour cette loi si, pour tout élément x de X, ${\displaystyle x\star e=e\star x=x}$.

Une loi interne admet au plus un élément neutre.

Un élément ${\displaystyle x}$ est dit idempotent pour une loi interne ${\displaystyle \star }$ si ${\displaystyle x\star x=x}$.

Soient ${\displaystyle \star }$ une loi interne sur un ensemble E et ${\displaystyle a}$ un élément de E. On dit que ${\displaystyle a}$ est :

• simplifiable à gauche (ou encore régulier à gauche) si, pour tous éléments ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ de E, la relation ${\displaystyle a\star x=a\star y}$ entraîne ${\displaystyle x=y}$ ;
• simplifiable à droite (ou encore régulier à droite) si, pour tous éléments ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ de E, la relation ${\displaystyle x\star a=y\star a}$ entraîne ${\displaystyle x=y}$ ;
• simplifiable (ou encore régulier) s'il est simplifiable à gauche et à droite.

On dit que le magma ${\displaystyle (E,\star )}$ est régulier (resp. régulier à gauche, resp. à droite) si tout élément de ${\displaystyle E}$ est régulier (resp. régulier à gauche, resp. à droite).