Définitions : ensemble, élément et notion d'appartenance

Un ensemble est une collection ou un groupement d'objets distincts ; ces objets s'appellent les éléments de cet ensemble.

Soit ${\displaystyle E}$ un ensemble, quand ${\displaystyle a}$ est un élément de ${\displaystyle E}$, nous disons que ${\displaystyle a}$ est dans ${\displaystyle E}$ ou que ${\displaystyle a}$ appartient à ${\displaystyle E}$ et nous écrivons ${\displaystyle a\in E}$, ce qui se lit « ${\displaystyle a}$ appartient à ${\displaystyle E}$ ». Quant au contraire ${\displaystyle a}$ n’est pas élément de ${\displaystyle E}$, nous disons que ${\displaystyle a}$ n'appartient pas à ${\displaystyle E}$ et nous écrivons ${\displaystyle a\not \in E}$, ce qui se lit « ${\displaystyle a}$ n'appartient pas à ${\displaystyle E}$ ».

Définition/Notation : ensemble vide

Un ensemble est dit vide s'il n'a aucun élément et nous notons l'ensemble vide ${\displaystyle \left\{\right\}}$ ou plus souvent ${\displaystyle \varnothing }$.

Remarque

Retenons qu'une chose est un ensemble, si nous pouvons dire si un objet quelconque est ou n’est pas élément de cette chose ; concernant l’ensemble vide nous pouvons dire qu'aucun objet n'est élément de cette chose.

Exemples d'ensembles

1. Les entiers naturels ${\displaystyle 0,1,2,3,...}$ forment un ensemble qui se note ${\displaystyle \mathbb {N} }$.
2. Les entiers relatifs ${\displaystyle ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}$ forment un ensemble qui se note ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
3. Les nombres rationnels (de la forme ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ où ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ et ${\displaystyle q\in \mathbb {N} ^{*}}$) forment un ensemble noté ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
4. Les points du plan forment un ensemble.

Définition d’un ensemble en extension et en compréhension

Un ensemble peut être défini en extension, c'est-à-dire en donnant la liste de ses éléments entre accolades, ou en compréhension c'est-à-dire par une propriété caractérisant ses éléments.

La manière la plus simple de décrire un ensemble « fini » est de lister ses éléments entre accolades. L'ensemble est alors défini en extension. Par exemple {1,2} représente l’ensemble dont les éléments sont 1 et 2.

• L' ordre des éléments ne revêt aucune importance ; par exemple, {1, 2} = {2, 1}.
• La répétition d' éléments entre les accolades ne modifie pas l'ensemble ; par exemple, {1, 2, 2} = {1, 1, 1, 2} = {1, 2}.

Pour définir en extension un ensemble dont le « nombre » d'éléments est « infini », nous pouvons écrire quelques éléments de cet ensemble suivis de points de suspension. Par exemple, l’ensemble des entiers naturels se définit par : ${\displaystyle \mathbb {N} }$ = {0, 1, 2, 3, …}. Les points de suspension peuvent aussi être utilisés pour abréger l'écriture de la liste des éléments de certains ensembles « finis ». Par exemple l’ensemble {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21} s'écrit plus simplement {1, 3, 5, … , 21}.

Un abus de notation permet de définir un ensemble en plaçant entre accolades la nature des objets qui lui appartiennent. Par exemple la notation {entiers pairs} désigne l’ensemble de tous les entiers relatifs multiples de 2. Il est aussi possible de définir un ensemble par une proposition logique P qui dépend de x. L'ensemble est alors constitué de tous les objets x pour lesquels la condition P est vraie. Cet ensemble se note {x | P(x)}. Par exemple, {x | x est un nombre réel} désigne l’ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} }$ des nombres réels. Cette notation est appelée « notation de définition d’un ensemble en compréhension ». Quelques variantes de notations de définition d’un ensemble en compréhension sont :

• {x ∈ A | P(x)} désigne l’ensemble des x qui sont déjà éléments de A tels que la condition P soit vérifiée pour ces x. Par exemple, si ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ est l’ensemble des entiers, alors {x ∈ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ | x est pair} est l’ensemble de tous les entiers pairs.
• {F(x) | x ∈ A} désigne l’ensemble de tous les objets obtenus en mettant les éléments de l’ensemble A dans la formule F. Par exemple, {2x | x ∈ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.} est encore l’ensemble de tous les entiers pairs.
• {F(x) | P(x)} est la forme la plus générale de la définition en compréhension. Par exemple, { propriétaire de x | x est un chien} est l’ensemble de tous les propriétaires de chiens.

Définition : égalité de deux ensembles

Deux ensembles ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle F}$ sont dits égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments. ${\displaystyle E=F}$ signifie donc : ${\displaystyle \forall x\ \left(x\in E\Leftrightarrow x\in F\right)}$.

Inclusion

Définition

Soient ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle F}$ deux ensembles quelconques. ${\displaystyle E}$ est dit inclus dans ${\displaystyle F}$ si tout élément de ${\displaystyle E}$ est un élément de ${\displaystyle F}$. On dit aussi que ${\displaystyle E}$ est un sous-ensemble de ${\displaystyle F}$ ou encore que ${\displaystyle E}$ est une partie de ${\displaystyle F}$.

On note ${\displaystyle E\subset F}$.

Soit : ${\displaystyle (E\subset F)\Leftrightarrow \left(\forall x\in E\quad x\in F\right)}$.

On note ${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}$ l’ensemble des parties de ${\displaystyle E}$.

Exemple

L'ensemble des entiers relatifs est inclus dans l’ensemble des nombres rationnels : ${\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} }$.

Proposition

Pour tout ensembles ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$ et ${\displaystyle G}$, on a :

• ${\displaystyle E\subset F}$ et ${\displaystyle F\subset G}$ implique ${\displaystyle E\subset G}$ ; c’est la transitivité de la relation « est inclus dans ».
• ${\displaystyle E\subset F}$ et ${\displaystyle F\subset E}$ est équivalent à ${\displaystyle E=F}$ ; c’est l'antisymétrie de la relation « est inclus dans ».