Définition

Définition

Une relation binaire ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ d’un ensemble ${\displaystyle E}$ vers ${\displaystyle F}$ est un triplet ${\displaystyle (E,F,G)}$ où ${\displaystyle G}$ est un sous ensemble de ${\displaystyle E\times F}$. Si ${\displaystyle (x,y)\in G}$, on dit que ${\displaystyle x}$ est en relation avec ${\displaystyle y}$ et l'on note ${\displaystyle x{\mathcal {R}}y}$.

${\displaystyle G}$ est appelé graphe de la relation ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$.

Relation sur un ensemble

Si ${\displaystyle E=F}$, on dit que ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ est une relation sur ${\displaystyle E}$. Cette relation est :

• réflexive si ${\displaystyle \forall x\in E\quad x{\mathcal {R}}x}$ ;
• symétrique si ${\displaystyle \forall x,y\in E\quad (x{\mathcal {R}}y\Rightarrow y{\mathcal {R}}x)}$ ;
• transitive si ${\displaystyle \forall x,y,z\in E\quad (\left({x{\mathcal {R}}y}\wedge {y{\mathcal {R}}z}\right)\Rightarrow {x{\mathcal {R}}z})}$ ;
• antisymétrique si ${\displaystyle \forall x,y\in E\quad (\left({x{\mathcal {R}}y}\wedge {y{\mathcal {R}}x}\right)\Rightarrow {x=y})}$ ;
• antiréflexive si ${\displaystyle \forall x\in E\quad \lnot \left(x{\mathcal {R}}x\right)}$.