1. ${\displaystyle e_{H}}$ est évidemment idempotent et (inversible donc) simplifiable. Réciproquement, soit ${\displaystyle h}$ un idempotent de ${\displaystyle H}$, simplifiable par exemple à gauche. Alors, ${\displaystyle h\star h}$ et ${\displaystyle h\star e_{H}}$ sont égaux (car tous deux égaux à ${\displaystyle h}$) donc ${\displaystyle h=e_{H}}$.
2. Soit ${\displaystyle f:G\to H}$ un morphisme de magmas. Alors, ${\displaystyle f(e_{G})}$ est idempotent (${\displaystyle f(e_{G})=f(e_{G}*e_{G})=f(e_{G})\star f(e_{G})}$) donc si de plus il est simplifiable, il est égal à ${\displaystyle e_{H}}$.

Désignons par ${\displaystyle e_{G}}$ le neutre de G et par ${\displaystyle e_{H}}$ le neutre de H. Alors

${\displaystyle f(x)\star f(x^{-1})=f(x*x^{-1})=f(e_{G})=e_{H}}$

et de même,

${\displaystyle f(x^{-1})\star f(x)=e_{H}}$.

Le plus simple est de raisonner par récurrence sur n. La formule est banalement vraie pour n = 0. Supposons-la vraie pour un nombre naturel n. D'après une formule du chapitre théorique,

${\displaystyle (ab)^{n+1}=(ab)^{n}ab.}$

Par hypothèse de récurrence, le second membre peut s'écrire

${\displaystyle (a^{n}b^{n})ab}$,

donc

${\displaystyle (ab)^{n+1}=a^{n}b^{n}ab.}$

Puisque a commute avec b, il commute avec bⁿ, donc notre résultat peut s'écrire

${\displaystyle (ab)^{n+1}=a^{n}ab^{n}b,}$

${\displaystyle (ab)^{n+1}=a^{n+1}b^{n+1},}$

d'où la thèse par récurrence sur n.