Un monoïde est un magma associatif unifère ${\displaystyle (E,\ast ,e)}$, c'est-à-dire un ensemble ${\displaystyle E}$ muni d’une loi de composition interne associative ${\displaystyle \ast }$ admettant un élément neutre ${\displaystyle e}$.

Tout groupe est un monoïde.

Un sous-monoïde de ${\displaystyle (E,\ast ,e)}$ est une partie ${\displaystyle S}$ de ${\displaystyle E}$ telle que :

• ${\displaystyle e\in S}$ ;
• ${\displaystyle \forall x,y\in S\quad x\ast y\in S}$.

Soient ${\displaystyle (E,\ast ,e)}$ et ${\displaystyle (F,\cdot ,f)}$ deux monoïdes.

Une application ${\displaystyle \varphi :E\to F}$ est un morphisme de monoïdes si c'est un morphisme de magmas unifères, c'est-à-dire si :

${\displaystyle {\begin{cases}\varphi (e)=f\\\forall (x,y)\in E^{2}\quad \varphi (x\ast y)=\varphi (x)\cdot \varphi (y).\end{cases}}}$

Soit ${\displaystyle f:E\to F}$ un morphisme de monoïdes.

• L'image directe par ${\displaystyle f}$ de tout sous-monoïde de ${\displaystyle E}$ est un sous-monoïde de ${\displaystyle F}$.
• L'image réciproque par ${\displaystyle f}$ de tout sous-monoïde de ${\displaystyle F}$ est un sous-monoïde de ${\displaystyle E}$.